九年级(下)——二次函数全章教案-新人教[整理]】（推荐五篇）

第一篇：九年级(下)——二次函数全章教案-新人教[整理]】

1课题 课题课题 课题： ：：

：26.1二次函数 二次函数二次函数 二次函数 教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括 能力。教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题

1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最 大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题

2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？ 怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：（1）面积y(cm2)与圆的半径 x(Cm)

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个 一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通 道的尺寸如图,设一条边长为 x(cm), 种植面积为 y(m2)

（一）教师组织合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。1 1 1 3 x 22、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）y =πx2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000(3)y =(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a≠0)的 形式.板书 板书板书 板书： ：：

：我们把形如

我们把形如我们把形如

我们把形如y=ax2+bx+c(其中 其中其中

其中a,b,C是常数 是常数是常数 是常数，，a≠ ≠≠

≠0)的函数叫做二次函数 的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数 的函数叫做二次函数(quadratic funcion)称 称称

称a为二次项系数

为二次项系数为二次项系数 为二次项系数，，b为一次项系数

为一次项系数为一次项系数 为一次项系数，，c为常数项

为常数项为常数项 为常数项，，请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

（二）做一做

1、下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y=(2)21 x y?=(3)1 22??=xxy（4）)1(xxy?=（5）)1)(1()1(2?+??=xxxy

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+ =xy（2）12732?+=xxy（3）)1(2xxy?=

3、若函数m mxmy??=2)1(2为二次函数，则m的值为。

三、例题示范，了解规律 例

1、已知二次函数 q pxxy++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一 边板书示范，强调书写格式和思考方法。练习：已知二次函数c bxaxy++=2，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数 值是2。求这个二次函数的解析式。

例

2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中 阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2), 求：

（1）y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表 示。3 方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点 拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对 应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：(1)写出y关于x的函数关系式.(2)当x=3时,矩形的面积为多少? a 4 ac4b2? ?? ?

四、归纳小结，反思提高 本节课你有什么收获？

五、布置作业 课本作业题

26.2二次函数的图像

二次函数的图像二次函数的图像 二次函数的图像（（（（1））））A B E F C G D H x

4教学目标

教学目标教学目标 教学目标：

1、经历描点法画函数图像的过程；

2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；

3、掌握型二次函数图像的特征；

4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点

教学重点教学重点 教学重点： ：： ： 2ax y=型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点

教学难点教学难点 教学难点： ：： ：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。教学设计

教学设计教学设计 教学设计： ：： ：

一、回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数 的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）

引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即2ax y=入

手。因此本节课要讨论二次函数2ax y=（0≠a）的图像。板书课题：二次函数2ax y=（0≠a）图像

二、探索图像

1、用描点法画出二次函数 2x y=和2xy?=图像（1）列表 x „-2 2 1 1?-1 2 1 ? 0 2 1 1 2 1 1 2 „ 2x y= „ 4 4 1 2 1 4 1 0 4 1 2 1 4 1 2 4 „ 2x y?= „-4-4 1 2-1-4 1 0-4 1-1-4 1 2-4 „

引导学生观察上表，思考一下问题： ①无论x取何值，对于2x y=来说，y的值有什么特征？对于2xy?=来说，又有什 么特征？ ②当x取„ „1, 2 1 ±±等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？

（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.（3）连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2x y=和 52x y?=的图像。

2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22 xy= 和22xy?=的图像。

学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评）

3、二次函数2ax y=（0≠a）的图像

由上面的四个函数图像概括出：（1）二次函数的2ax y=图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物 线，（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。（4）当o a?时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上 方(除顶点外)；当o a?时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图 像在x轴的 下方(除顶点外)。

（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）

三、课堂练习观察二次函数2x y=和2xy?=的图像(1)填空： 抛物线 2x y= 2xy?= 顶点坐标

对称轴

位 置

开口方向

(2)在同一坐标系内，抛物线2x y=和抛物线2xy?=的位置有什么关系？如果在同一 个坐标系内画二次函数2ax y=和2axy?=的图像怎样画更简便？(抛物线2x y=与抛物线2xy?=关于x轴对称，只要画出2axy=与2axy?=中的 一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)

四、例题讲解

例题：已知二次函数2ax y=（0≠a）的图像经过点（-2，-3）。

（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。6练习：（1）课本第31页课内练习第2题。

(2)已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

五、谈收获 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点

3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点

六、作业：见作业本。

课题 课题课题 课题： ：：

：26.2二次函数的图像

二次函数的图像二次函数的图像 二次函数的图像（（（（2））））教学目标：

1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。

2、了解2ax y=，2)(mxay+=，kmxay++=2)(三类二次函数图像之间的关系。73、会从图像的平移变换的角度认识kmxay++=2)(型二次函数的图像特征。教学重点：从图像的平移变换的角度认识k mxay++=2)(型二次函数的图像特征。

教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。教学设计：

一、知识回顾 二次函数2ax y=的图像和特征：

1、名称 ；

2、顶点坐标 ；

3、对称轴

4、当o a?时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最 点，图像在x轴的顶点外)；当o a?时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最 点图像在x轴

；除

(的(除顶点外)。

二、合作学习

在同一坐标系中画出函数图像22 1 xy=，,)2(2 12+ =xy2)2(2 1 ?=xy的图像。

（1）请比较这三个函数图像有什么共同特征？（2）顶点和对称轴有什么关系？

（3）图像之间的位置能否通过适当的变换得到？（4）由此，你发现了什么？

三、探究二次函数2ax y=和2)(mxay+=图像之间的关系

1、结合学生所画图像，引导学生观察,)2(2 12+ =xy与22 1 xy=的图像位置关系，直观得出22 1 xy=的图像? →?向左平移两个单位,)2(2 12+ =xy的图像。

教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：（0，0）? →?向左平移两个单位（-2，0）（2，2）? →?向左平移两个单位（0，2）；（-2，2）? →?向左平移两个单位（-4，2）

②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。

2、用同样的方法得出22 1 xy=的图像? →?向右平移两个单位2)2(2 1 ?=xy的图像。

3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质.82ax y=（0≠a）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移 时当m 0mm 0m??? →?2)2(2 1 ?=xy的图像。函数2)(mxay+=的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m

4、做一做（1）、抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2(x+3)2

y =-3(x-1)2

y =-4(x-3)2（2）、填空：

①、由抛物线y=2x2向平移 个单位可得到y= 2(x+1)2 ②、函数 y=-5(x-4)2的图象。可以由抛物线 向平移 4 个单位而得 到的。

3、对于二次函数2)4(3 1 ??=xy，请回答下列问题： ①把函数23 1 xy?=的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4(3 1 ??=xy的图 像？

②说出函数2)4(3 1 ??=xy的图像的顶点坐标和对称轴。

第3题的解答作如下启发：这里的m是什么数？大于零还是小于零？应当把23 1 xy?=的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数2)4(3 1 ??=xy的大致图像（事先画好函数23 1 xy?=的图像），借助图像有学生回 答问题。

五、探究二次函数k mxay++=2)(和2axy=图像之间的关系

1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数3)2(2 12+ +=xy的图像。

首先引导学生观察比较,)2(2 12+ =xy与3)2(2 12+ +=xy的图像关系，直观得出：,)2(2 12+ =xy的图像?→?个单位向上平移33)2(2 12+ +=xy的图像。（结合多媒体演 示）

再引导学生刚才得到的22 1 xy=的图像与,)2(2 12+ =xy的图像之间的位置关系，由 9此得出：只要把抛物线22 1 xy=先向左平移 2个单位，在向上平移3个单位，就可得 到函数3)2(2 12+ +=xy的图像。

2、做一做：请填写下表：

函数解析式 图像的对称轴 图像的顶点坐标 22 1 xy= ,)2(2 12+ =xy 3)2(2 12+ +=xy

3、总结k mxay++=2)(的图像和2axy=图像的关系 2axy=（0≠a）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移 时当m 0mm 0m??? →?2)2(2 1 ?=xy的图像个单位时向下平移当个单位向上平移 时当m 0km 0k??? →?kmxay++=2)(的图像。kmxay++=2)(的图像的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）。口诀：（m、k）正负左右上下移（m左加右减 k上加下减）

4、练习：课本第34页课内练习地1、2题

六、谈收获：

1、函数k mxay++=2)(的图像和函数2axy=图像之间的关系。

2、函数k mxay++=2)(的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。

七、布置作业

课本第35页作业题 预习题：对于函数1 22+??=xxy，请回答下列问题：（1）对于函数1 22+??=xxy的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ 10（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

课题 课题课题 课题： ：：

：26.2二次函数的图像

二次函数的图像二次函数的图像 二次函数的图像（（（（3））））教学目标：

1、了解二次函数图像的特点。11 2、掌握一般二次函数cbxaxy++=2的图像与2axy=的图像之间的关系。

3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例2的解题思路与解题技巧。教学设计：

一、回顾知识

1、二次函数k mxay++=2)(的图像和2axy=的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题 对于函数1 22+??=xxy，请回答下列问题：（1）对于函数1 22+??=xxy的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 思路：把1 22+??=xxy化为kmxay++=2)(的形式。=[ ][]2)1(2)1(2)12()12(2222+??=?+?=?++?=?+?xxxxxx 在2)1(2+??=xy中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样 的平移得到的？

二、探索二次函数c bxaxy++=2的图像特征

1、问题：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位 置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式 ？ c bxaxy++=2 =a bac a b xa a c a b a b x a b xa a c x a b xa 4 4)2()2()2()(2 22222? ++= ? ? ? ? ? ? +?++=++ 由此可见函数c bxaxy++=2的图像与函数2axy=的图像的形状、开口方向均相 同，只是位置不同，可以通过平移得到。

练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）

2、二次函数c bxaxy++=2的图像特征（1）二次函数 c bxaxy++=2(a≠0)的图象是一条抛物线； 221yxx=??+ 12（2）对称轴是直线x=a b 2 ?，顶点坐标是为（a b 2 ?，a bac 4 42?）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

1、例

1、求抛物线2 5 3 2 12? +?=xxy的对称轴和顶点坐标。

有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法 或者是用顶点坐标公式。

2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题

3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过 点（1，-3）。

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较 简便？

4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。

（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥 洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为 首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

1、点A

2、点B

3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

1、函数c bxaxy++=2的图像与函数2axy=的图像之间的关系。

2、函数c bxaxy++=2的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

3、函数的解析式类型： 一般式：c bxaxy++=2 顶点式：k mxay++=2)（五、布置作业 课 课课 课题 题题 题： ：：

：2.3二次函数的性质

二次函数的性质二次函数的性质 二次函数的性质（（（（1））））教学目标：

1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系.133.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会 求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：

二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.教学难点：二次函数的性质的应用.教学过程： 复习引入

二次函数: y=ax2 +bx + c(a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当

a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成 立.二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线

y=-2x2的顶点坐标是 , 对称轴是，在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小.当x= 时，函数y最大值是____.当x____0时,y<0.2.探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标 是 , 对称轴

是，在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大.当x= 时，函数y最小值是____.当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值

当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x 的增大而增大；当 时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。0

y=-2x2 0 y= 2x2 y x a 2 b x? ?? ?= == = a2 b x? ?? ?= == =a 4 ac4b2? ?? ?a4 ac4b2? ?? ? 14当

时，函数y有最大值

4.探索二次函数与一元二次方程

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示.(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系? 归纳:(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自 变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.当b2-4ac ﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c 的两个根x1与

x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0 时，抛物线与x轴没有交点。举例: 求二次函数图象

y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。结论1：方程x2-3x+2=0 的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两 个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2,0）

5.例题教学:例1: 已知函数

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称 轴的对称点。然后画出函数图像的草图；

(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少； 并求出函数的最大值或最小值。归纳:二次函数五点法的画法 三.巩固练习: 请完成课本练习： p42.1,2 2 15 x7 2 1 yx2+ ++ +? ?? ?? ?? ?= == = 16增减性。

3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点：利用图像观察性质 教学设计：

一、复习

1、抛物线5)4(22?+?=xy的顶点坐标是，对称轴是，在

侧，即x_____0时，y随着x的增大而增大； 在 侧，即x_____0 时, y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最 值是____。

2、抛物线6)3(22+?=xy的顶点坐标是，对称轴是，在

侧，即x_____0时，y随着x的增大而增大； 在 侧，即x_____0 时, y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最 值是____。

二、例题讲解

例

1、根据下列条件求二次函数的解析式：（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）(2)函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）

（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）

说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任 意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或 最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐 标，则用分解式较为快捷。

例2 已知函数y= x2-2x-3 ,（１）把它写成k mxay++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？

（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象的草图；

(5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求△APB的面积；（6）根据图象草图，说出 x取哪些值时，① y=0;② y<0;③ y>0.说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相 转化；

（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使 y<0;，其对应的图像应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围。

17例

3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则： a 0;b 0;c 0;ac b42? 0。

说明：二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a、b、c、acb42?的关系 ： 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0.抛物线开口向 a<0 抛物线开口向 b的符号 b>0.抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b<0 抛物线对称轴在y 轴的 侧 c的符号 c>0.抛物线与y轴交于 C=0 抛物线与y轴交于 c<0 抛物线与y轴交于 ac b42?的符号 acb42?>0.抛物线与x 轴有 个交点 ac b42?=0 抛物线与x 轴有 个交点 ac b42?<0 抛物线与x 轴有 个交点

三、小结本节课你学到了什么？

四、布置作业：课本作业题第5、6题

补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

课题 课题课题 课题： ：：

：26.4二次函数的应用

二次函数的应用二次函数的应用 二次函数的应用（（（（1））））教学目标：

1、经历数学建模的基本过程。

2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。x-1 1 y y x o 18教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学设计：

一、创设情境、提出问题

出示引例（将作业题第3题作为引例）给你长8m的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？ ③如何验证？

二、观察分析，研究问题

演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之 改变。深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2, 则它们的函数关系式为x xy42+?= ? ? ? ?ox x? ? ∵4 0 4 0??x∴

并当x =2时（属于4 0??x范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m2)引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问 题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形 设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程。

变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框 改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的 透光面

积最大？（结果精确到0.01米）19 练习：课本作业题第4题

四、知识整理，形成系统

这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？ 学到了哪些思考问题的方法？

五、布置作业：作业本

课题 课题课题 课题： ：：

：26.4二次函数的应用

二次函数的应用二次函数的应用 二次函数的应用(2)教学目标：

201、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以 及用数学的方法解决问题。

难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。教学过程：

一、复习：

1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一 般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量 的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动 态

图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）

设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？ 2 22)4(xxl?+=)40(9622??xxxl+?=（2）对角线（L）是否也有最值？如果有怎样求？

L与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有 最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也 越大（小）。指出：当被开方数9 622+?xx取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解

例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时 12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船 相距最近？最近距离是多少？ 21 多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t小时后，两船的行程是多少？ 两船的距离如何用t来表示？ 设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 = 169t2-260t+676。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676 的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最 小值。

解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为 S=A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 = 169（t-10 13）2+576（t>0）当t= 10 13 时，被开方式169（t-10 13）2+576 有最小值576。所以当t= 10 13 时，S最小值= 576 =24（km）答：经过 10 13 时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。

三、课堂小结

应用二次函数解决实际问题的一般步骤

四、布置作业 见作业本

课题 课题课题 课题： ：：

：26.4二次函数的应用

二次函数的应用二次函数的应用 二次函数的应用(3)教学目标：

1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以 及用数学的方法解决问题。

难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。教学过程：

例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价(元)6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶)480 440 400 360 320 280 240(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定 成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日 均毛利润为多少？

练习：P47课内练习

0

第二篇：九年级数学下二次函数教案

教学课题：二次函数（1）

教案背景

这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课。本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是以后学习高等函数知识的一个基础。因此，本章的内容在学生的知识系统中起着一个承上启下的作用。而本节课又是本章的第一节课，是本章内容的一个开端，对整章内容的学习起着非常重要的作用。从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。

教材分析

二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.在本节课之前，学生已经系统的学习过了正比例函数、反比例函数和一次函数等几例特殊函数。学生对两个变量之间的函数关系已经有一个基础的认识。本节课通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.这节课又是学生初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、以后学习的一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要意义。

教学目标

1、在实际问题情境中让学生经历、分析和探索建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重难点

1、本节教学的重点是二次函数的概念及解析式。

2、本节“合作学习”涉及的实际问题情境比较复杂，要求学生有较强的概括能力，是本节教学的难点。

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．

[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?

[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

[师]能把学过的函数回忆一下吗?

[生]可以，一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)

正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．

反比例函数y=k(A是不为0的常数)． x

[师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．

Ⅱ．合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个y与x之间的关系。

(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)；

(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；

(3)拟建中的一个温室的平面图如图1，如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m)，种植面积为y(m2)

（一）教师组织合作学习活动

1、先个体探求，尝试写出与之间的函数解析式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨第（2）特别是第（3）题的函数解析式，老师巡回指导，并参与到小组活动中去。

3、请小组代表上黑板写出三个问题的函数解析式样并进行化简。

（二）老师问：上述三个函数解析式具有哪些共同的特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

2教师归纳总结：上述三个函数解析式样并进行化简后都具有y＝ax+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式。

2（板书）一般地，形如y＝ax+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic

function)．

师：请同学依次说出上述三个解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。

（三）学生完成“做一做”

P27：

1、2

在评价学生作业时，对于第1小题，老师强调二次函数解析式中（1）是整式，（2）二次项

2系数a≠0，对于第2题（3）老师提醒：先化简，写成y＝ax+bx+c形式后，再判断各项系

数和常数项。

三、例题示范，了解规律

例1：如图2，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

1、y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

2、当x分别为0.25,0.5,1,1.5,1.75时，对误码的四边形EFGH的面积，并列表表示。

（一）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教学巡回辅导，适

时点拨。

（二）引导学生加以分析总结：

1、求差法

2、直接法

3、自变量的取值范围。

2例2：已知二次函数y＝ax+px+q,当x=1时，函数值是4，当x=2时，函数值是-5，求这个

二次函数的解析式。

此例题难度较小，但却反映求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，老师一边板书示范，强调书写格式和思考方法，结束后让学生完成强化。

练习：“课内练习”第2题。

Ⅳ．课时小结

本节课我们学习了如下内容：

1.经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．

2．二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。

3、如何求二次函数的解析式。

Ⅴ．课后作业

课本“作业题”

Ⅵ．活动与探究

2m2-m若y＝(m+m)x是二次函数，求m的值．

教学反思

整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让

学生理解和接受的。

对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。

对于最后讨论题的设计和提出，是我在进行了整个一章的单元备课后发现，我们其实对二次函数的最值问题是不讲的，但是不讲并不代表一点都不会涉及到，其中用到的思想方法还是相当重要的，在图象的观察中也具有了重要的地位，再加上这个问题在进行了前面的实际问题的解答之后是呼之欲出的：多种树——想提高产量——多种几棵好呢？，所以我设计了这个探索性的问题：假如你是果园的主人，你准备多种几棵？注意这里我并没有提出最大最小值的问题，但是所有的学生都能理解到，这是数学的魅力。这个问题的提出是整节课的一个高潮和精华，是学生学完二次函数定义之后，综合利用函数的基本知识，代数式的知识和一元二次方程的知识进行的思考，因而他们的想法和说法，不论对错，不论全面还是有所偏颇，其中都涉及到了重要的数学思想方法，而这些恰恰是非常重要的。事实证明学生的思维真的是非常活跃的，你要你给了足够的空间，他们总能从各方各面进行思考和解释，我也从中看到了他们智慧的火花，这是很令人欣慰的。

第三篇：期末复习教案-二次函数(北师大版 九年级下)

二次函数复习学案

【【知识梳理】

1.定义：一般地，如果，（是常数，的二次函数.2.二次函数

用配方法可化成：的形式，其中，那么

叫做

.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：当相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴（或重合）的直线记作

.特别地，轴记作直线

.时，开口 ；当

时，开口 ；

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.的形式，（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为得到顶点为(,)，对称轴是直线

.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线

中，的作用

中的完全一样.的对称轴是直（1）决定开口方向及开口大小，这与（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在 1

轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在与

轴右侧.（3）的大小决定抛物线 当①轴.时，∴抛物线,与

轴交点的位置.与

轴有且只有一个交点（0，）：,与

轴交于负半，抛物线经过原点;②轴交于正半轴；③ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：

轴右侧，则..已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式..已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.、，通常选用交点式：（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标

.12.直线与抛物线的交点（1）（2）与(,轴与抛物线轴平行的直线).得交点为(0,).与抛物线

有且只有一个交点（3）抛物线与轴的交点 二次函数次方程程的根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与轴相交；

抛物线与轴相切； 的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方 ②有一个交点（顶点在轴上）③没有交点

抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相 2

等，设纵坐标为，则横坐标是（5）一次函数的两个实数根.的图像与二次函数的图像的交点，由方程组与与的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

与

只有一个交点；③方程组无解时有两个交点;②方程组只有一组解时没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线，由于、是方程的两个根，故

与轴两交点为

【能力训练】

1．二次函数y=－x＋6x－5，当 时，2.抛物线A．

B．

2，且随的增大而减小。的值为（）D．

． 的顶点坐标在第三象限，则

C．3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（）

A．x =2

B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（）

A．3

B．5

C．－3和5 D．3和－5

5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（）

6．二次函数大小关系是（）的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的 3

A．a＞0，b＜0，c＜0

B．a＞0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0

7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）

A．0．71s

B．0.70s C．0.63s

D．0．36s 8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（）

A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）

A．这两个函数图象有相同的对称轴

B．这两个函数图象的开口方向相反

C．方程－x2+k=0没有实数根

D．二次函数y=－x2＋k的最大值为

10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（）

A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2 12．已知二次函数的图象如图所示，则在“①

a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）

A、①②③④

B、④

C、①②③

D、①④ 13．已知二次函数

(a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）

A．l个

B．2个

C．3个

D．4个

14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）

A．最大值1

B．最小值－3

C．最大值－3

D．最小值1

15．用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值

以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）

A．506

B．380

C．274

D．182

16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________

17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）．

19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．

20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.21.已知抛物线y=ax+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，（1）

求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2）

若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量销售价（元）满足一次函数y=162－3x；（1）写出商场每天的销售利润为多少？

23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

（元）与每件的销售价（元）的函数关系式；

（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润

（件）与每件的

24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，米的速度持续上涨，（货车接到忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？

25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y＝x－(b＋10)x＋c.⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；

⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.26．已知抛物线y=(1-m)x+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl

22的直角坐标系中画出这条抛物线；

27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A(0, 6)，D(4，6)，且AB=2.（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

第四篇：《二次函数 》教案

命题人：刘英明 审题人：曹金满 课型：新授课

《二次函数 》教案

学习重点：通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

学习难点：理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.一、知识回顾：

1.若在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是的，叫做.2.形如 的函数是一次函数，当时，它是正比例函数；

形如 的函数是反比例函数.二、探究新知：

1.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积与长方形的长之间的函数关系式为.2.支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数与球队数之间的关系式_______________________．

3.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是.4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？

5.归纳：一般地，形如，（）的函数为二次函数。其中是自变量，是__________，是___________，是_____________．

6.方法：①等号右边是整式； ②自变量最高次数为2； ③二次项系数不等于0.三、举例应用：

例1.当 值时，函数二次函数；

当 值时，函数为一次函数；

例2.下列函数中，哪些是二次函数？

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

例3.填出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

四、巩固练习：

1.下列函数中哪些是二次函数？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)．

2.若函数为二次函数，则的值为.3.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)(2)(3)

4.已知函数，(1)当为何值时，这个函数是二次函数？

(2)当为何值时，这个函数是一次函数？

五、课堂小结：

谈谈今天你的收获.六、课后作业：

数学同步练习册.随堂检测

一、选择题：

1.若是二次函数，则的值为（）

A.±2 B.﹣2 C.2 D.0

2.下列函数中是二次函数的是()

A.B.C.D.3.一定条件下,若物体运动的路段(米)与时间(秒)之间的关系为,则当秒时,该物体所经过的路程为（）

A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

二、填空题：

4.观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这6个式子中二次函数有（只填序号）.5.是二次函数，则的值为______________．

6.若物体运动的路段（米）与时间（秒）之间的关系为，则当秒时，该物体所经过的路程为.7.把函数化成的形式是.8.二次函数．当时，则这个二次函数解析式为 ．

9.是二次函数,则的值为_________________.三、解答题：

10.取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？

11.已知与成正比例,并且当时,.求与之间的函数关系式.12.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.13.某种商品的价格是2元，准备连续两次降价.如果每次降价的百分率都是，经过两次降

价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系可以用怎样的函数来表示：

14.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为m，绿化带的面积为．求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

第五篇：二次函数教案

二次函数教案

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20.1二次函数

一、教学目标：

．知识与技能：

通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.2．数学思考：

学生能对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.3．解决问题：

体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程.4．情感与态度：

通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识.二、教学重点、难点：

教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念.三、教学方法和教学手段：

在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．

在教学手段方面，选择了多媒体辅助教学的方式．

四、教学过程：

师生活动

设计意图

、问题感知，情境切入.教师展示实际问题：

“第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目，一般情况下，足球运动员的状态会随着时间的变化而变化：比赛开始后，球员慢慢进入状态，中间有一段时间球员保持较为理想的状态，随后球员的状态慢慢下降.经实验分析可知：球员的状态综合指数y随时间t的变化规律有如下关系：

（1）比赛开始后第10分钟时与比赛开始后第50分钟时比较，什么时间球员的状态更好？

（2）比赛开始后多少分钟时，球员的状态最好，这样的最好状态能持续多少分钟？

通过学生之间的讨论，很容易得出第（1）问的答案：比赛开始后第10分钟时，y=140；比赛开始后第50分钟时，y=220；所以，比赛开始后第50分钟时球员的状态更好.当学生开始进行第（2）问的解答时，遇到了不同的困难：

（1）不知道如何讨论当50t90时，y的变化范围？

（2）通过模仿一次函数的性质，学生求出了函数y=

中，y的变化范围是.却无法说出这样做的数学依据是什么？

所有的困难都指向一个焦点问题：

y=

是个什么样的函数？它具有什么样的独特性质？

因此，学生产生了研究函数y= 的兴趣，教师趁势提出今天的学习内容.以“世界杯足球赛”这样贴近学生生活实际的问题为背景，力求更好地激发学生的求知欲，使之成为主动、积极的探索者，并在解决实际问题的过程中体验成功的快乐，同时为新课的引出和学习奠定了基础.这是一道结合实际的自编题，其中的数据于自己做的社会调查.足球运动是一项集体运动项目，对运动员的配合意识要求很高，所以运动员上场后30分钟左右才进入最佳状态，中场休息后状态仍能保持到最佳，50分钟后由于体能的下降影响了状态的发挥.2、讲解新课，提炼知识.（1）对比、分析

教师举出生活中的其它实例，感受二次函数的意义，进一步深化对二次函数概念的认识.①如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积Q和正方形的边长a的函数关系式是____________________．

②某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格m（元）和年降价率p的函数关系式是____________________．

答案：m=262

（2）类比、迁移

教师顺势提问：对y=、Q=a2-

16、m=262这三个函数你能用一个一般形式来表示吗？

教师参与到学生的分组讨论中去，合作交流，注意及时抓住学生智慧火花的闪现进行引导.教师鼓励学生用不同字母表示，只要把握概念的实质即可，必要时可提示学生，类比一次函数的知识.（3）二次函数的认识

一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（说明：括号内的条件，在第步之后再补写）的函数叫做二次函数，其中a、b分别是二次项系数、一次项系数，c是常数项.（4）加深理解

二次函数的定义给出后，教师引导学生分别讨论“a、b、c的取值范围”.学生就问题自由发言，教师充分引导学生发表自己的看法，只要合理，都应肯定.最后师生达到共识：

①a不能为0，因为当a=0时，右边不再是x的二次式；

②b、c都能为0，因为当b=0、c=0或b、c都为0时，右边仍是x的二次式.教师对所得出的常量范围，进行概念补写.通过两个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.引导学生侧重从解析式的特征思考，透过“引用不同字母”的表层现象，看到解析式的“结构一致”的本质.敞开思想，广泛议论，实现对二次函数本质的认识.充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.教师的提问意在引起学生的思维冲突，使之产生探究的欲望.遵循学生认知发展及知识系统的形成过程，由一般到特殊逐步为概念的理解铺平道路.3、分层实践，能力升级.[快速抢答]

下面各函数中，哪些是二次函数？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函数

（2）请写出这些二次函数中a、b、a

b

c

①y=2x2

0

c的值.0

②y=－x2+3

－

0

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特别强调：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a、b、c.1.[轻松完成]：矩形的周长为20cm，它的面积S（cm2）和它的一边长a（cm）的函数关系式是怎样的？并求出此函数的定义域.答案：S=a=-a2+10a，其中函数的定义域为：0

（1）写出即时速度Vt与时间t的函数关系式；

（2）写出平均速度与时间t的函数

关系式；（提示：本题中，平均速度）

（3）写出滚动的距离S（单位：米）与滚动的时间t（单位：秒）之间的关系式.（提示：本题中，距离S=平均速度时间t）

（4）请判断以上三个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

=

= ；

（3）S=

t=

；

（4）函数Vt=1.5t和

=是一次函数，函数S=

是二次函数，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[请你帮个忙]：某果园有100棵橘子树，每一棵树平均结600个橘子.现准备多种一些橘子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.那么，如何表示增种的橘子树的数量x（棵）与橘子总产量y（个）之间的函数关系式呢？判断这个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出题大家做如图，正方形ABcD的边长是5，E是AB上的一个动点，G是AD的延长线上一点，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

请同学们以小组为单位尝试编一道实际函数问题，列出的函数关系是可以是二次函数，也可以是一次函数.估计学生可能想到：

①矩形AEGF的面积y与BE的长x

之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

②矩形AEmD的面积y与BE的

长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

③矩形BEmc的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

④矩形DmFG的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

⑤其它类型：六边形ABcmFG的周长y与BE的长x之间的函数关系；矩形AEGF的周长y与BE的长x之间的函数关系；……

这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，同时认识二次函数解析式中a、b、c的意义.通过求函数的定义域，让学生体会实际问题中的二次函数的特点。

通过这道题的安排，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判定二次函数的方法，进一步了解不同函数的差异，从而对函数的本质有更深入了解。

这道实际问题的解决，培养了学生的观察能力和归纳能力，更重要的是让学生体验了实际问题“数学化”的过程.兴趣是学习的动力源泉，学生在参与编题的过程中，培养了与人合作的精神和创新意识，通过学生多层次、多角度地解决问题的方式，使原本枯燥的数学课堂逐渐被开放、热烈，富于创造性的课堂气氛所代替，成为激发学生潜力的最佳土壤.4、展示交流，总结新知.（1）学生自己总结，并在班上交流

本节课——

我学会了……

使我感触最深的……

我感到最困难的是……

我最值得学习的同学是……

（2）结合学生所述，教师给予指导：

①正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的注意问题.②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题.课堂小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，借此促进师生心灵的交流，学生对自己清醒的认识和总结，必然促进其自主学习，获得可持续发展的动力.5、布置作业、巩固知识.（1）阅读教材相应内容，完成课后习题第45--46页第1、2题.（2）实践题：

推测植物的生长与温度的关系

科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物的增长情况（如下表）

温度t/℃

植物高度

增长量L/mm

由这些数据，科学家推测出植物的增加量L与温度t的函数关系，并由它推测出最适合这种植物增长的温度.你能想出科学家是怎样推测的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，根据图象写出你的分析.必做题促进知识的巩固，实践题供学有余力的学生完成，进一步培养发散思维及社会实践能力.设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔.五、教案设计说明:

．注意联系实际，渗透用教学的意识，力求呈现“问题情景——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，让“人人学有价值的数学”.教学中以实际问题主线贯穿整个教学，强调具体问题的分析、抽象，渗透数学建模思想.注重问题的实际意义，选用贴近学生生活和具有时代气息的例题、习题，激发学生的兴趣，使学生体会二次函数在现实世界中的作用.2．给学生提供探索和交流的空间，数学活动力求避免单纯的依赖模仿与记忆，而是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习，提高解决问题的能力，发展创新意识和实践能力.3．谈化概念的形式记忆，关注概念的实际背景与形成过程，采用直观导入、动手操作的方法，借助直观形象，让学生能够理解概念，并初步学会应用.4．内容设计有弹性，真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.关注学生群体的差异，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，所设置的问题既能使所有学生参与，又有一定的拓展、探索余地和广阔的思维空间，使全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。