圆幂定理及其证明

第一篇：圆幂定理及其证明

圆幂定理

圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OPR

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

DA22PC

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPDAPBPPCPD PCBP（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

TPAB

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPAPT2PAPB PBPT（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在：PAPBPCPD 进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则

PCPD(POR)(POR)PO2R2|PO2R2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为R2PO2|PO2R2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

第二篇：4个圆幂定理及其证明

相交弦定理

如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD

证明：

连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.切割线定理

如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为则TC²=TA·TB

证明：连接AC、BC

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC

∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=AT·BT

弦切角定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半径

AO=AO公共边

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割线定理

如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

第三篇：圆的定理及其证明

圆周角定理

内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3

连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OC,OB。解：∵OA、OB、OC、是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圆心角等于180度的情况呢？

看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圆心角大于180度的情况呢？

看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，只要延长CO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度 根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情况2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

切线长定理

内容：切线长定理，是初等平面几何的一个定理。在圆中，在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。证明：

欲证AC = AB，只需证△ABO≌ △ACO。

如图，OC、OB为圆的两条半径，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

弦切角定理

内容：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。证明：

分三种情况

：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆, ∴弧CmA的度数为180° ∵AB为圆的切线 ∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点

E，连接EC、ED、EA。则 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圆O的直径 ∴∠DEA=90° ∵AB为圆的切线 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

（3）圆心O在∠BAC的外部 过A作直径AD交⊙O于D，连接CD ∵AD是圆的直径 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圆O的切线 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

切割线定理

内容：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆相交的直线是圆的割线。切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理，在解题中经常用到。

推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。证明：

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB。

图1

证明：连接AT，BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT²=PB·PA。

垂径定理

内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。证明：

如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B ∵OA、OB是⊙O的半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

第四篇：圆的有关证明相关定理

平面几何证明相关定理、题型及条件的联想

一、平面几何证明相关定理

1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；

两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

6、圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必经过切点。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

8、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。

重要结论：经过不共线三点的圆有且只有一个

二、平面几何证明问题形式及处理方向

1、线段等比式的证明——利用三角形相似证明

2、线段的等积式证明——转化成等比式，利用三角形相似证明，或者等比中项式进行等量代换证明

3、等比中项式证明——可以通过三角形相似，切割线定理，直角三角形射影定理证明

4、线段相等证明——如果它们在一个三角形中，则证明它们所对的角相等，如果不在同一个三角形中，则通过等量代换证明即可

5、四点共圆的证明——证明四点形成的三角形对角互补或是证明该四边形中同一条边对应的两个角相等

6、直线与圆相切的证明——连接圆心与直线与圆的交点，证明半径与该直线垂直即可

7、角相等的证明——通过三角形相似证明或是等量代换证明

8、三角形相似的证明——通过证明两个三角形中有两组角对应相等或是一组角相等，且夹这个的两边对应成比例

三、平面几何证明条件的发散思维

1、条件中有直径——联想——直径所对的圆周角是直角，2、条件中的切线——联想——切割线定理，弦切角定理，连接圆心与与切点，半径与切线垂直

3、直角三角形斜边上的高——联想——直角三角形射影定理

4、条件中圆内接四边形——联想——圆内角四边形对角互补，圆内接四边形外角等于内对角

5、条件中弧相等——联想——它们所对的圆周角相等

6、条件中线段相等——联想——如果在同一个三角形中，则它们所对的角相等

第五篇：高中数学竞赛的教案：平面几何 第八讲 圆幂定理（模版）

数学竞赛辅导讲稿—平面几何

第八讲

圆幂定理

一、知识要点：

1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

即：如图，PA·PC=PB·PD ACOBPD

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线

段长的比例中项。即：如图，PA2=PB·PC

CBAP

3、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

BAD

CP

二、要点分析：

1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的22平方差的绝对值），即PAPB定值（OPr）

2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。

3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。数学竞赛辅导讲稿—平面几何

三、例题讲解：

例

1、已知：如图，在ABC中，AM、AD分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN NLBMDAC

例

2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=ED·EG DCAMGO1EBO2N 例

3、在RtABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：AD⊥BF AFGDC B数学竞赛辅导讲稿—平面几何

例

4、如图，AB是⊙O中任意一弦，M为AB的中点，过M任作两条弦CD、EF,连接CE、DF分别交AB于G、H,求证：MG=MH(蝴蝶定理)CAMGFHBDE

例

5、ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BD⊥AC,AC与BD的交点为E,点F在DA的延长线上，连接BF,点G在BA的延长线上，使得DG∥BF,点H在GF的延长线上,CH⊥GF,证明：B、E、F、H四点共圆。

GHFABDEC 数学竞赛辅导讲稿—平面几何

第八讲 圆幂定理练习

班级：_____________姓名：_________________

1、⊙O1与⊙O2外切于点P，过P的直线与⊙O1，⊙O2分别相交于点A、C,AB切⊙O2于B, ⊙O1与⊙O2的半径分别是5、3，则AC：AB=____________.CPO2BO1A

2、如图：⊙O与等边ABC交于点D、E、F、G、H、J,如果GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么DE=___________.AHGJFBDEC



3、如图：在ABC中，BAC90,D在BC上，F在AC上，G是AB的中点，且满足AG2=AF·AC,BF⊥AD,则BD:DC=_____________.AFGCD B

4、AD、AE分别为ABC的角平分线和中线，过点A、D、E的圆和AB、AC分别交于M、N，求证：BM=CN ANMBEDC 数学竞赛辅导讲稿—平面几何

5、如图，B是⊙O的切线PA的中点，过B引⊙O的割线与⊙O交于点D、C,PD的延长线交⊙O于E,PC交⊙O于F,求证：AP∥EF ABPOFCED

6、(1)、已知，如图，四边形ABCD内接于圆，求证：AB·DC+BC·AD=AC·BD DCAB

（2）、已知，如图，在凸四边形ABCD中，AB·DC+BC·AD=AC·BD，求证：四边形ABCD为圆内接四边形。

DCA

附加题： B

y1x1、集合A={(x,y)}的子集的个数为________ 2y1xabbcca，}，2、已知三个非零实数a,b,c,集合A={记x为集合A的所有元素之cab和，y为集合A的所有元素之积，若x2y，则xy的值是__________.3、集合A={1,3,5,7}，B={2,4,6,8,20},若C={S︱S=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的元素个数为__________.