高等数学中几个常见不等式及其应用（共5篇）

第一篇：高等数学中几个常见不等式及其应用

本科毕业论文（设计）

题 目：高等数学中几个常见不等式及其应用 学 生： 学号： 学 院： 专业：

入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称：

完成日期： 年 0 月 日 高等数学中几个常见不等式及其应用

摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。

关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；Hlder不等式；Minkowski不等式

..A few common inequality in the application of higher mathematics

Abstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge.This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality;Cauchy inequality;Holder inequality;Minkowski inequality

目 录

0 引言（绪论）................................................4 1.1平均值不等式...............................................4 1.2平均值不等式应用...........................................5 1.3平均值不等式的推广...........................................5 2 柯西不等式..................................................6 2.1 柯西不等式定理及证明.......................................6 3 施瓦茨等式..................................................8 3.1施瓦茨不等式定理...........................................8 3.2 施瓦茨不等式应用..........................................9 3 4 H..lder不等式..............................................10 4.1 H..lder不等式定理形式及证明...............................10 4.2 H..lder不等式的应用.......................................11 5 Minkowski不等式.............................................12 5.1 Minkowski不等式定理及证明.............................12 6 结束语......................................................13 参考文献.......................................................13 致谢...........................................................14

0 引 言 不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同时，不等式本身非常抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，应用变化万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。

1.1平均值不等式

基本概念

定理1 对任意n个实数ai0i1,2,,n恒有

na1a2ana1a2an（1）

n（即几何平均值算术平均值）,其中当且仅当a1a2an时成立。证 i 首先有

aa2aa2a1a2a1a21（2）122222（相等当且仅当a1a2）类似的，任意的kN,重复上面方法k次2ka1a2a2ka1a2a2ka1a2a3a4a2k1a2k 2222k（等号当且仅当a1a2a2k时成立）。

ii记A立，则

AnAAa1a2anAn1a1a2anA n1n1a1a2an,则nAa1a2an.假设不等式对n1也成n故 An1a1a2anA，Ana1a2an，Aa1a2an

1n因此不等式对任意n成立，等号当且仅当a1a2an时成立。1.2 均值不等式的应用

下面通过例题说明均值不等式的应用 例1 设正值函数fx在0,1上连续，试证：

1lnfxdx0efxdx.01证：由已知条件得fx,lnfx在0,1上可积。将闭区间0,1分成n等分，利用积分定义得，10fxdxlim1nnnfi，i1n11nnfxdxlim1n0lnnnlnfilimlni1nnfii1n，1n1lnfxdxlimlnfinn得 e10eni1nlimnnfi.i1n再由定理1，得

1nfin1ni1nnfii1n，故

e10lnfxdx10fxdx.1.3 均值不等式的推广

定义1 设ai0 i1,2,,n，记

1nMa1arrrni r0，i1称Mra为a1,a2,an的r次幂平均.它与算术平均的关系为

M1aa1a2annAa，MraAar1r

定义 2（加权平均）,pi0, i1,2,,n, 6 rpiai记Mra,pi1npii1n，1n1rn1Ga,papiipip1ppnpni1a1a22an2p.i1p1Mra,p和Ga,p分别称为a1,a2,,an的（r次幂）算数平均。

定理2 设a1,a2,,an不全相等，则有Ga,pM1a,p，即：appp11a22annp1a1pnan pi0,pi1.亦即：

ap1pp1pnan1a22annp1p2ppn1a1ppp

12n只有a1,a2,,an全相等时“<”才成为“=”.柯西不等式

2.1 柯西不等式定理及证明

定理3 设ai,bi为任意数i1,2,,n则

n2an2nibii1aib2i，（3）

i1i1等号当且仅当ai与bi成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。

证法Ⅰ（判别式法）

n0aixbi2i1na22nn2ix2aibixi1bi.i1i1关于x的二次三项式保持非负，b24ac0故判别式

2nnna2ibii1a2i1bi0.ii1 证法Ⅱ（配方法）因

2nnnn2222aibiaibiaibjaibiajbji1i1i1j1i1j1i1 nnnnn12ai2b2abababab0,jiijjijji2i,j1i1j1i1j1nn2故（1）式获证.当且仅当aibjajbii,j1,2,...,n时成立，上式可以等于0。

证法Ⅲ（利用二次型）

0aixbiyi1n2n22nn22aix2aibixybiy, i1i1i1即关于x,y的二次型非负定，因此

ai1ni1n2iabi1nnii0，ab此即式（1）.iibi12i 注 用方法Ⅲ，可以将结果进行推广.因

0ai1x1ai2x2aimxmi1n2aikaijxkxji1k,j1mnm

naikaijxkxj,k,j1i1此式右边为x1,x2,,xm的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式

anDetaikaiji1n2i1ai1nni1ai1ni1ni1i22i2aaai1ni1i1nni1imai2ai1ai1ai2aim0.（4）

2imimai1ai1nimai2a等号当且仅当a11,a21,,an1,a12,a22,,an2,,a1m,a2m,,anm线性相关【即：存在不全为零的常数x1,xm使得ai1x1ai2x2aimxm0 i1,2,,n】成 8 立.施瓦茨不等式

柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式直接推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。3.1 施瓦茨不等式

定理4 若fx、gx在a,b上可积，则

bbfxgxdxfaa22xdxag2xdx.（5）

b若fx、gx在a,b连续，当且仅当存在常数,,使得fxgx时成立，等号相等(,不同时为零).证法I 将a,bn等分，令xia2iba,应用柯西不等式，n21n1nfxigxifni1ni11n2xigxi，ni1令n取极限，即得式（1）证法II

bfxgxdxafxdxagxdxabbbb1b21b222fxdxgydyfydygxdxfxgxdxfygydyaaaa2a2a

b1bdyf2xg2yf2yg2x2fxgxfygydxa2ab1b2dyfxgygxfydx0,a2a22bb2这就证明了式（5）.因此，如果fx、gx连续，当且仅当存在常数,不同时为零，使得fxgx时成立.类似可以推广到一般情况.若函数fix,gix i1,2,,m在a,b上可积，则

bDetafixfjxdx0.如果fix在a,b连续的，当且仅当fix i1,2,,m线性相关，等式时成立 9 的。（即存在不全为零的常数1,2,,m使得1f1x2f2xmfmx0时成立。）

3.2施瓦茨不等式的应用

应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但使用时应注意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。

例1 已知fx0,在a,b连续，bafxdx1,k任意实数，证：

22bbafxcoskxdxafxsinkxdx1.（6）证(1)式左端第一项应用施瓦茨不等式

b2afxcoskxdxfxfxcoskx2dxbfxdxbaafxcos2kxdx（7）

bafxcos2kxdx.同理 bafxsinkxdxbafxsin2kxdx.（8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假设函数fx在闭区间a,bab上有连续n阶fnx，并且fka0,k0,1,,n1.求证：

mkbk112212afxdx2bamkbfmx2dx2a，（9）

这里，0kmn.分析 i先设法证明n1 此时k0,m1，我们只要证明的结论是：

假若x在a,b上有连续导数，a0,则必有

212'fxdx.(10)axdxbaa2bb121212为把与'联系起来，用公式

x'xdx.ax应用施瓦茨公式

x2xxxx2'2''2tdt.(11)tdt1dttdtxaaaaa2两边同时积分

122'2'2xdxxatdtdxtdxaaaaaabbxbx2'2ba112'2'2xa2atdtaxaxdxxa222xxbb2.tdtab两边同时开方，变得（10）式。

ii回到一般情况，令xfkx，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。Hlder不等式

4.1 Hlder不等式基本形式及证明

定理5 设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1, 则：

....aibii1nnnaibi.i1i1证： 令Aa,Bbii1i1ni1nni 那么

ABaibiaibi i1ABnlgaialgiABlgaiaaalgiiiABlgAB1  11（利用Jensen不等式）

aaaibiii

ABABnnaibiaibi1 Ai1Bi1i1ABn即

abABabiiii, i1i1i1得证。

Holder不等式还有另一种表示形式，令nnn1111pq,,1及aixi,xiai,biyi,yibipqpqpqxiyiaibiaibixiyi i1i1i1i1i1i1则：

1212nnnnn1pn1q22xiyixiyi i1i1i14.2 Hlder不等式的应用..nnnpqfxp,qR,x0，例3 设的最小值。求函数

2sinxcosx解：取4525,5,于是，1.由

4511Holder不等式有

45pq 4545psinxsinx25q4525cosxcosx25qpsin2xcos2xcosxsinx15pqfxpqsinxcosx4545, 54 12 p22p5sinxsinx当且仅当，tanx时，等号成立。所以，fx的最小值是2qcosxqcosx445pq5。54 Minkowski不等式

5.1 Minkowski不等式基本形式及证明

定理6 设ak,bkmk1kn均为实数，p1则

1pn1pakbkmkk1nppppabakkkk1k1k1nn1p1p特别地，当p2及n2时，nnaibii1i1n22a1b1a2b2anbn

222222证： 由Holder不等式可知：

(ii)(ik)(ik1)i1i1i1n1kn1k1

由上述不等式可得：

(ii)i(ii)ki1i1n1kn1k1i1i1nnk1i(ii)k1i11knn

1k1(ik)[(ii)(k1)k1](ik)[(ii)(k1)k1]i1i1n

其中k1,111,(k1)k1k,所以 kk1k()ii[()()][(ii)]i1i1i1i1nn1kkin1kkin1kk1

即：

上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．结束语

i1i1i1[(ii)]()()n1kkn1kkin1kki以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学知识的应用非常广泛，还有均值不等式的定理及推广，应用到许多高等数学证明题中，可以做到深入浅出，使问题的解决更加简单。也突显了不等式证明方法灵活多样。但在数学的学习中，应具体问题具体分析，对待不同的问题，思维要灵活，思路要清晰，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而准确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。

参考文献：

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[12]刘小琼，刘新乐.Jensen不等式在数学上的应用[J].科教文汇.2008(3).[13]朱桂英，王雪峰.高等数学在证明不等式中的应用[J].科技信息.2006：116－117.[14]盛祥耀，高等数学（第二版 下册）[M],北京：高等教育出版社，2003.[15]余建生.利用微积分证明不等式[J].重庆学院学报.2008(4).[16]张昊.高等数学中不等式的证明方法[J].数学教学与研究.2009(第25期).

第二篇：高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法

摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。

关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

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【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。

【关键词】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

例1设e4e2(b-a)。

解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x

例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用辅助函数的单调性证明

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例3试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4设b>a>e，证明ab>ba。

分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展开式证明

泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。

例5设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。

解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述两式相减得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因当c∈(0,1)时，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。

例6设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函数图形的凹凸性进行证明

函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

f′(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

文章来自：全刊杂志赏析网(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72_3.htm

第三篇：2014年高等数学竞赛——专题五不等式

专题五不等式

1.设f(x)在 [0, 1]上连续,非负，单调减。

2.f(x)dxaf(x)dx(0a1)00a1

babf(x)dx 3.设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:xf(x)dxa2ab

4.设f(x)在 [0, 1]上可导,且f(0)0,0f(x)1.1135.0f(x)dx0f(x)dx.2

sinx(0x)x2

b2(ba)(0ab)7.求证: lnaba6.求证: 2

8.比较e与e的大小.9．设limx0f(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x.（泰勒，最值，中值）x

10.设f(x)在[0,)二阶可导，且f(0)1,f(0)1,f(x)f(x),(x0).求证：f(x)ex.11.设f(x)在1,1内有f(x)0，且limx0f(x)sinx2，证明在1,1内有x

f(x)3x.12.证明：0x1时 有xln(1x)1xarcsinx

x13.试利用函数f(x)a,对于a1,x1,证明以下不等式

a.n21naaalna(n1)2

1n11n1n1

第四篇：导数在不等式中的应用

指导教师：杨晓静

摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。

关键字：导数的应用不等式证明方法

引言

不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。

拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间a,b上连续；（2）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f()'f(b)f(a)

ba 应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)f(a)M(ba)或 证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。

（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)f(a)f()(ba)，(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)M，xa,b，则由上述等式得到不等式

f(b)f(a)M(ba)，或由的不确定性，计算出若f'(x)的取值范围m,M,xa,b,则进而有不等式m(ba)

例：证明nbn1f(b)f(a)M(ba)(ab)ab

nnnnan1(ab)证明：构造函数f(x)x，则显然f在区间b,a上满足拉格朗日中值定理，且

f(x)nx

nn'n1，n1有abn(ab)，又

第五篇：均值不等式及其应用

教师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中

高三一轮复习数学学案

均值不等式及其应用

一．考纲要求及重难点

要求：1.了解均值不等式的证明过程.2.会用均值不等式解决简单的最大（小）值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二．考点梳理

ab1.均值定理：；

2（1）均值不等式成立的条件是_________.（2）等号成立的条件是：当且仅当_________时取等号.（3）其中_________称为正数a,b的算术平均值，_________称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：和定积最大。

2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋

等号当且仅当a＝b时成立.简记：积定和最小。

3、几个重要的不等式

（1）ab2ab(a,b∈R)（2）22ba 2(a,b同号）ab

a2b2ab2ab2()（a,bR）（3）ab()（a,bR）（4）22

2三、学情自测

1、已知a0，b0，且ab2，则（）

112222A、abB、abC、ab2D、ab3 222、给出下列不等式：①a12a212；③x221，其中正确的个数是 x1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为___________。

125.已知正数a,b，满足ab1，则的最小值为 ab3、设x0，则y33x

均值不等式及其应用第 1页（共4页）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy22x3xy4yz0,则当z取得最大值时,xyz的最大例

1、（2013山东）设正实数x,y,z满足

值为（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x27x10变式训练1.若x1，求函数f(x)的最大值。x

12.（2013天津数学）设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时,考向

二、利用均值不等式证明简单不等式

例

2、已知x0,y0,z0，求证：（变式训练

2、已知a,b,c都是实数，求证：abc

2221|a|取得最小值.2|a|byzxzxy)()()8 xxyyzz1(abc)2abbcac

3考向

三、均值不等式的实际应用

例

3、小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比

上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)

变式训练：

如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。

（1）现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？

五、当堂检测

1、若a,bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）

2A、ab2abB、ab、11ba、2 abab2、若函数f(x)x1(x2)在xa处取得最小值，则a（）x

2A、1B、1C、3D、4ab3、已知log2log21，则39的最小值为___________。ab

4.若点A1,1在直线mxny20上,其中mn0,则11的最小值为__________.mn

六、课堂小结

七、课后巩固

511、已知x，则函数y4x2的最大值是（）44x

51A、2B、3C、1D、2(ab)22、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b1)xay20与直线xby10互相垂直，则ab的最小值为（）

A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,xyxy8，则xy最小值是___________。

5、若对任意x0,22xa恒成立，则a的取值范围是___________。2x3x1

6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;

(2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?