第一篇：重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。EB、FC交于O。证明：过F作FH平行BE。∵AF=BF且FH//BE ∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）
又∵ AE=CE ∴HE=1/2CE ∴FO=1/2CO（⊿CEO∽⊿CHF）
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形）证明方法：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
已知A,B,C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若向量OA+向量OB+向量OC=O.求证：O是△ABC的重心
设BC中点为D（后面说的都是向量），所以OB＋OC＝2OD，因为OA＋OB＋OC＝0，所以OA＋2OD＝0，所以OA＝－2OD，即O,A,D三点共线，所以APD所在直线为BC边中线。同理可证另外两条。综上，所以O为三角形重心。（PS，重心是三条中线交点）
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。证明方法： ∵D为BC中点，∴BD=CD, 又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD, ∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE。同理，∵E为AC中点，∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD。∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD。
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE, 即S△BOF=S△AOF。∴BF=AF，∴CF为AB边上的中线，即三角形的三条中线相交于一点。
第二篇：三角形重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
指三角形三条边的垂直平分线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。
三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。
第三篇：向量证明重心
向量证明重心三角形ABC中，重心为O，AD是BC边上的中线，用向量法证明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中线则AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中点。作DF//BE则EF=EC/2=AC/4=3c。平行线分线段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 证明：用归一法
不妨设AD与BE交于点O，向量BA=a,BC=b,则CA=BA-BC=a-b 因为BE是中线，所以BE=(a+b)/2,向量BO与向量BE共线，故设BO=xBE=(x/2)(a+b)同理设AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 设AD与CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 证毕!4 设三角形ABC的顶点A,B,C的坐标分别为(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)证明：三角形ABC的重心(即三条中线的交点)M的坐标(X,Y)满足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 设:AB的中点为D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M为三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如图。
第四篇：芭蕾舞重心教学
人体的重心是人体质量（重量）的中心。它的位置取决于身体各环节质量（重量）分布情况。当人双脚直立时，人体的重心点在头正中向下垂直，指向地球中心，身体的重量均分于双脚支撑面上；当人体姿式发生变化时，重心的位置也发生变化。如：身体曲膝并向前做倾身，人体的重心位置是在与地心形成垂直线的腰部，其它部位成了平衡身体的各个环节重力，身体的重量仍均分于双脚支撑面上。因此，人体的重心位置是随着身体各环节位置的变化而改变的。在日常生活中，人类已经形成了自然的生理平衡意识，地心的引力已不会使健康正常的人东倒西歪。但作为高度专业性的芭蕾舞，动作的重心概念就不只是自然平衡意识了。首先，人的双脚要站在两脚尖各向外分开90度的外开上，挺胸、收腹，以使脊柱尽力得到拉直和伸展，然后整个重力柱（从头到脚）应稍稍前移，“这样就使体重向前落到双脚的三个平衡点上昆（即落到拇趾关节、小趾关节和脚跟上）”（《古典芭蕾舞蹈教学》琼.劳逊着，尧登富译，第４页）这样的重心使得芭蕾舞动作中的releve更为方便，也使得动作在起始和结束时，身体呈现为一种积极的状态。这是芭蕾舞中重心感觉的最基本形态。在此前题下，动作变化中的重心就更加非同寻常。芭蕾舞演员若对此掌握不好的话，就不仅仅是东倒西歪的事了。
正确把握重心使身体变“轻盈”
芭蕾舞是比其它舞蹈种类更力求摆脱地心引力的一门艺术。在十九世纪初，世界上就已经出现了脚尖舞蹈，演员们以更小的支撑点来承担自己身体的重量。那时的意大利女演员玛丽.•塔里奥妮，正是以脚尖上的舞蹈来表现自己身体的轻巧和敏捷，而成为著名的舞蹈家。这是芭蕾舞史上摆脱地心引力行动的重大飞跃。同时，对演员的重心感觉的掌握提出了更高的要求。在古典芭蕾舞剧《吉赛尔》二幕中，已成为鬼魂的吉赛尔，有一段悲哀的adagio，这是由一系列极难控制的动作组成。不但要求演员掌握极其缓慢的平衡来伸展舞姿，还必须在缓慢的舞姿平衡中间，做一个急促的entrechat quatre，以表现鬼魂身躯的轻虚和飘浮不定。这正是检验演员重心和平衡能力的高尺度。所有跳好这段舞的演员都具有良好的把握身体重心平衡的能力，使昆观众真真实实地享受《吉赛尔》舞剧中，鬼魂们“轻盈”优美的芭蕾舞段。完美的平衡不是轻而易举地实现的。不仅仅是要通过长期的训练，而且如果没有正确的重心概念，演员就不可能在脚尖或半脚尖上保持足够长时间的舞姿，以便给观众记忆里留下印象；同时她（他）也不可能保证完全与音乐合拍，因为演员重心失去平衡，舞姿就会先于音乐落下来。这样也就不可能完美地去表现芭蕾舞艺术。掌握正确的重心，才能使身体平衡，才能使力量均匀地分布于支撑脚，才能排除不必要的身体紧张，减少身体承重部位的压迫和损伤。“脚承受的重量越轻，那么脚在芭蕾舞这种高度专业性的运用中就越不容易受到压迫和损伤。”、“身体的平衡能力越好，重量也就越容易准确地落在两脚最有力的部位。”（《舞蹈解剖学》[美国]拉乌尔.格拉伯特着，朱立人译，第68页）不正确的重心，导致不合理的支撑点，也容易形成歪腰、伸脖子等毛病，出现不规范舞姿。身体的重量压迫了人体力量的最弱部位，使得这个部位不堪重负，日久天长便成了终生的职业病。这样的结果能让从事多年艰苦训练的芭蕾舞演员，在她（他）风华正茂时，含泪对芭蕾舞说一声“拜拜”啦！一个芭蕾舞者如果懂得正确运用身体的重心，他便可以更多地摆脱重力之苦，使得训练中的动作紧张和疲劳降到最低限度，从而使自己的训练更加有效，技术能力提高更快。而在舞台上呈现于观众的形象，便是“看她（他）的身体多轻盈！”
把握正确重心的三要素
（一）“外开”与重心
“外开”不仅仅是芭蕾舞的特殊的审美要求，它还为重心提供了一个更为有利的支撑面。“一个人站在一条腿上时，只要把脚转开一点，就会有一个三个点与地面接触的面积。如果脚站正步，脚趾向前，与地面接触的面积就会小。”（《芭蕾排练室内幕》安.乌廉斯着，黄伯虹译，第19页）一个确立自己要以芭蕾为专业的孩子，进入课堂的第一个动作，就是把身体放在转开的脚位上，并开始以各种方式来进行“外开”训练，以塑造一个非常人所有的、符合芭蕾舞要求的体态和非常人所有的重心组合方式。这是芭蕾舞者整个技术发展的基础。通过对外开的训练，我们获得有利的支撑面积，获得髋臼关节更为自由的活动范围；从而使重心更加稳固，也使调节重心的各环节更为自由。“当用脚尖做动作时，如果大腿学会了在髋臼关节中转开，大腿就有控制能力，帮助掌握平衡，并使旋转动作增加稳定性。”（《芭蕾排练室内幕》安.乌廉斯着，•黄伯虹译，第19页）外开的方式，“发生于髋关节及其周围的韧带和肌腱。外开的幅度取决于舞蹈演员个人的骨盆结构。外开的能力还取决于参加腿部向外旋转的有关肌肉的状况。外开始自髋关节，通过大腿的骨与肌肉向下传递到脚上。”（《舞蹈解剖学》[美国]拉乌尔.•格拉伯特着，朱立人译，第21页）通过这样一种方式，我们才能够掌握一个正确的“外开”，同时也获得了一个不同于平常人的重心概念。因此，我们可以认为，“外开”对重心的作用是非常大的。
（二）“肌肉力”与重心
“为了获得人体总重心的加速度运动，必须有外力施加于人体。但是外力的引起、扩大和减小，又取决于内力（肌肉），所以肌肉力是一切动力中的主导力，即肌肉力是人体运动的动力来源。”（《运动生物力学》人民体育出版社第127页）肌肉力量在很多运动项目中，是取得优异成绩的基础，它是人体一切活动的内动力；适宜的肌肉力可以更好地控制重心，以抵抗地心引力和更快地操纵身体。肌肉活动的基本能力还表现在其它方面，如肌肉收缩力量的大小、完成单个动作频率的快慢、体位移动一定距离的速度、保持肌肉快速工作能力的长短，以及长时间持续工作的能力等。在芭蕾舞中，腿部肌肉帮助我们双腿在髋臼关节处向外“转开”，并伸直膝盖、绷直脚背；背部肌肉使arabesque 舞姿挺拔、修长；跳跃中由于肌肉力牵动，使腿推地，从而把身体推向空中并形成各种舞姿；在双人舞中肌肉力与外力的共同配合，使托举动作变得“轻而易举”......对重心而言，肌肉力的作用是在动作过程中，调节身体各个不同部分的环节重力，维持身体重心、固定舞姿的平衡；在位移动作中，牵引动作腿推地，使重心受力向远处或高处运动；在旋转中，肌肉力使肢体迅速收拢，集中重心，并排除旋转惯性所产生的离心力，控制着旋转的质量；在跳跃中决定身体重心在空中停留的时间和位置，等等。肌肉力的训练是一个长期和遁序渐近的过程。从最初的正确姿式和battement tendu 练习开始，要进行一系列动作的扶把、离把练习，来使肌肉把握重心的力量逐渐加强。只有通过若干年的训练，当两条腿的力量和脊柱肌肉（背肌）的力量已经变为能够适应于承受动力腿往前和往后所给予的重量时，才有可能达到完美的重心平衡。通过对身体各部位肌肉的训练，使得肌肉力在各种剧烈、缓慢、跳跃、旋转等运动中，实现调节身体各部位重力的功能，达到控制重心的目的。
（三）“协调”与重心
动作的协调性存在于人的大脑皮质。“以急行跳高为例......进行这一复杂的运动动作时，运动员要借视觉来分析横杆的距离和高度；借前庭感觉来分析身体在空间的位置及其变化；借本体感觉来分析肌肉和关节活动状况；借皮肤感觉来分析地面的硬度等等。”（《运动生物力学》人民体育出版社第115页）以上的引言中，运动员完成动作的这一系列“借......”，都是大脑在动作间的一瞬反应。在舞蹈动作中也是有这样瞬间的大脑分析活动。比如，在旋转昆中，演员要借助多大的推地力、手和脚应遁怎样的路线、视线应朝着哪一方，才能集力于重心而达到旋转起来的目的？在女演员用脚尖做pique arabesque时，要以多大的迈步距离、怎样的抬腿速度、多大的后背力量，才能集力于重心点达到最合适的平衡昆角度？在大的跳跃中，以多大的幅度做 chasse、多大的腿部力量推地、并以怎样的手和后背的配合，才能把重心漂亮地抛向空中，然后还要稳健地落在舞姿上？以及双人舞托举动作中，女伴与男伴合力的大小、时间的合理配合等等，都需要大脑进行一系昆列的分析和判断才能完成。也就是说，动作的力量和时间都协调一致时，才能使重心准确到位，使动作轻松流畅。动作“起法儿”是否协调，也是重心是否顺利到位的关键。“没有预备性动作就不能有下一个功能性动作，而功能性动作的效果往往又取决于预备性动作的完成情况。”（《运动生物力学》人民体育出版社第127页）不协调的“起法儿”，会给旋转造成阻力；会使舞姿失去平衡；会让重心受力不均而无法腾空；会使双人舞动作的力量和重心不能合二为一......。任何动作都有它特定的节奏，掌握好动作的特定节奏，是动作协条至关重要的一部分。尤其是芭蕾舞艺术，从一开始的训练中，就配合着音乐伴奏。在课堂里，让学生在准确的音乐节奏里完成动作，是最基础的协调训练。此外，我认为，音乐感的培养是协调训练的一种极好方式。让学生欣赏音乐、学习乐理、弹钢琴，都是对大脑协调素质的训练。“运动员所以有高度协调性，是由于经过训练，本体感觉皮质部位的兴奋与抑制过程在一定空间、一定时间内能严格有节奏转换的结果。”（《运动生理学》体育系通用教材，第37页）一些难度较大的技术性动作，有必要进行一些专门性的训练，使动作的协调性成为一种条件反射，才能使技术性动作完成得更加成功和完美。尤其是在小的pirouette和grand pirouette中，必须依靠协调来集中重心，才能够达到旋转起来的目的。因此，在动作训练中，建立起成套的条件反射，是动作协调的基础；动作的协调也是对重心把握的重要因素。
重心三要素的综合运用
我们以一个受过芭蕾舞专业训练的女演员动作为例。她在做arabesque grand pirouette en dedan时，以2／4音乐的2小节做好大四位准备，后面的腿伸直，重心放在前腿上；ta1•─在重拍之前继续加深plie，以获得支撑腿对地面更大的反作用力；在重拍1上，借助眼睛和大脑皮层的瞬间反应，•运用肌肉力和推地的反作用力，使身体各部协调行动，迅速形成在特定的舞姿重心上；主力腿与此同时在脚尖与地面的反作用力支撑上，向外尽力转开以稳固重心，并以外开形式给予旋转增加内动力，达到旋转起来的目的。在结束动作中，后背肌肉的运用和主力腿plie的转开，使舞姿牢牢地稳定在重心上，整个pirouette•动作完整而规范。这是一个典型的重心与三要素合力而成的动作。在这一点上，学生很容易使用单方面力量，比如手臂用劲地甩；过量地向上踢腿；后背后仰；主力腿不转开，等等。使动作无法完成。在动作训练中，没有正确的重心，会造成肌肉无益的疲劳。在把杆训练中，靠拉着把杆才能做动作的现象很常见，这使得所有把杆动作呈现一种假象。一旦放开把杆，身体便失去平衡，这对于在中间完成动作是非常不利的。而且还会造成局部肌肉束的粗壮，有碍芭蕾舞对肌肉线条修长的审美要求。正确的重心，使用小量的肌肉力就能控制身体的平衡，保持重心的稳定，从而使肌肉束不但有力，而且向细长型发展。外开的能力决定着重心平衡的能力，也是保持肌肉线条优美流畅的一个方面。外开在动作的开始和结束时，使重心更有一种安全感。尤其是在pirouette 和grand jete及其它大的跳跃动作结束时，除了后背肌肉的控制能力外，外开起了“刹车”的作用，使旋转着的舞姿平稳静止和跳跃安全降落；因此，外开具有一种稳固重心的作用。动作的不协调，会使综上所述的一切化为乌有。不仅常常使动作失误，还会造成一种神经紧张，人为地使关节和肌肉僵直，成为完成动作的一大障碍。“外开”给重心提供更稳定的支撑面；肌肉提供内动力，对重心作固定、位移、抛举；协调是重心的机制，以大脑的活动来判断重心所需的力量和位置。协调感觉还可以说是重心的合成器，它集各个因素于完成动作的一刹那。芭蕾舞中任何动作，都离不开重心，而把握重心的三要素是掌握好重心的必要条件。这三者是相互依托、相辅相成，缺一不可的关系。要达到舞姿的完美、旋转的辉煌、跳跃的轻盈和双人舞的流畅，以重心为主导、配合“协调”、运用“肌肉力”和“外开”，才能训练出具芭蕾舞规范的动作，才能有灵活、轻便的身体来从事芭蕾舞艺术，才能使观众享受到芭蕾舞“轻盈”的魅力。
第五篇：感想 重心下移
做为小学数学教师，每天我们都辛勤地耕种在自己的一亩三分地上，你曾经为自己的视野狭小苦恼过吗？听完精彩报告后激起的思维火花却被日常的琐碎悄然泯灭，你遗憾过吗？遇上了教学问题却苦于如何解决，你焦虑过吗？在新课程改革的一片沸扬中，对如何把握教育的本真，你疑惑过吗？
让我们一起来读一读这本《小学数学教学新视野》吧！仔细阅读本书能给我们开启一扇新视野的窗户，拓展我们教学研究的视野半径。
本书的作者吴亚萍女士亲历叶澜教授主持的“新基础教育”研究十二年中，将“新基础教育”理论与数学学科相结合，并转化为生动而丰富的教学实践形态的一次尝试，是理论工作者和一线实验教师十几年共同努力的结晶。不仅有十几年的研究实践支撑，还有大量课堂中鲜活而真实的事件作为案例进行分析研究，并给出了解决问题的策略和可操作的建议。
本书对小学数学教学发展的历史进行了回顾和反思，而且对小学数学教学改革现状进行审视与透析，并以此作为小学数学教学转型性变革的基础和起点，阐述了新课程理念下小学数学教学变革的价值追求、变革目标和变革策略；本书还以整体的视野提出小学数学教学整体综合性设计的四大原则：一是“读”学生---了解学生的前在状态、潜在状态和发展可能；二是“读”教材---研究教材独特的育人价值，通过对教材编排知识的激活，提升教学内容的生命性；三是在“两读”的基础上，根据学生实际起点和发展可能，确定与教学内容相应的“具体目标”；四是根据不同学生个体之间的差异，作出“开放”和“弹性化”的综合设计方案；本书以“教学”的互动生成作为基本的分析单位，详尽分析了小学数学教学过程展开的内在逻辑；本书最后分析了小学数学教学变革与教学评价、教师发展的关系，提出了小学数学教学转型性变革的关键是教师思维方式的转变。
学习笔记选摘：
◆“长程两段式”教学策略：改变数学教学中一个知识点、一个例题、一组练习“匀速运动”的教学方式，摆脱和超越具体每一节课的限制，在思考整个单元的知识结构、特有的育人价值的基础上，把每一结构单元的教学分为“教学结构”阶段和“运用结构”阶段。“教学结构”阶段主要让学生形成知识结构和学习方法结构，在“运用结构”阶段主要让学生运用这一结构进行主动的学习。
◆“先整体再分化”教学策略：根据奥苏伯尔提出的处理教材的两个原则：设计先行组织者和逐渐分化，对于知识逻辑体系比较严密的教学内容，可采用“先整体再分化”教学策略，即先提供学生总的框架或上位概念，然后根据具体内容对它们逐渐加以充实和分化。这样有利于学生整体性理解，形成良好的认知结构。
◆类结构的基本课型：融合渗透型（适用于数运算的教学）
归纳探究型（适用于定律、性质和公式的教学）
转化探究型（平面图形面积计算教学）整体感悟型（适用于概念、复合应用题、图形测量等教学）
复习整理型。
◆什么样的课算一堂好课：真实（待完善的课）、平实（常态下的课）、扎实（有意义的课）、充实（有效率的课）、丰实（有生成的课）。
第一，真实。要强调课的真实，是对待课堂教学实践的基本态度和立场，只要是真实的课，就不可能十全十美。如果一点瑕疵也没有，那么“假课”的可能性就比较大。有的教师期望把课上的一点问题也没有，这种预设的目标是错误的。正因为真实，所以才有遗憾存在。我们宁要真实的遗憾，不追求虚假的完美。所以，真实的课是不粉饰恶毒，是值得去反思的，也是有待完美的。
第二，平实。强调课的平实，是期望教师以平常心态去对待日常课堂教学实践，淡化公开课点缀式的意识，强化日常探索与研究的意识。有的公开课就是上的很花哨，让人看的眼花缭乱，但这种课不可能在每一天的实践中进行，因为它要教师花费很多的时间和精力去准备。课天天要上，正因为如此，平实的课是反映教师日常教学实践常态的，也是很实在、很普通却有质量的。
第三，扎实。强调扎实的课，是期望教师追求课的真实效果，把教学目标落到实处。有的课上，学生始终没有认识的错误，也没有思维的碰撞，只是为完成教案而“走过场”。这样的课是很难促使学生的真实的发展的，所以扎实的课多学生来说是有意义的，体现学生学习后的变化，是有真实效果的。
第四，充实。强调课的充实，是期望教师追求课堂教学效率的提高，使每一位学生在原来的基础上都得到真实的发展。如果教学只是对少数学生有效率，就不能看作是一堂好课。所以，充实的课对学生来说是人人有收获，人人有不同的发展，也是效率比较高的课。
第五，丰实。强调课的丰实，什么是课的丰实，即课的生成，是期望教师能运用自己的教学智慧去把握课堂，在课堂中能促使学生生成新的观点和新的想法。这样的课不完全是预设的结果，师生之间有真实的智慧的投入，学生的能力有所发展，学生的思维不但活跃而且水平有所提高。所以，丰实的课是体现课堂动态生成的，是提升学生思维水平和教师教育智慧的，也是体现师生生命活力的。
◆开放教学有两层含义：第一，在广度上开放，教学需要面向全体学生，不同学生解决问题的不同状态，包括正确的、错误的，都可以成为学生交流讨论的共享资源；第二，在深度上开放，教学更重要的是展现学生真实的思维过程，而不仅仅是呈现学生解决问题的结果。为了能体现开放的意识，要从封闭性设计向开放性设计转换。具体说就是要注意体现以下几个方面的意图：开放性的导入；“大问题”设计；重心下放；信息回收。
大部分的课能向学生开放，但又有两个问题：（1）串联。如78÷3怎么做？学生全部试做。然后教师利用实物投影，一一呈现给学生，这是用串联的方式呈现，重复讲述，浪费时间。利用现代技术手段，虽是方便了教师，但妨碍了信息的交流。建议教师要有并联的意识，问题放下去后，学生会有各种状态出现，把各种信息同时呈现在黑板上，让学生在比较中体会、体悟、提升。（2）随意。
学生做了之后，方案同时出现，小组先交流，再全班汇报。全班交流时，随便谁来说，这样处理就没有资源的意识，就出现了“会哭的孩子有奶吃”，有时会出现思维水平从抽象到具体的这样一个状态，是不利用学生学习的，是违背数学要求的。
重心下移的建议：
（1）大问题意识。与大环节相联系，每一个环节就是一次重心下放——信息回收的过程，一节课有这样三、四个环节就足够了，三、四个环节是一个思维递进的过程。信息回收要有捕捉的意识和敏感；要有样本的意识；要有错误资源的意识；要有错误资源的价值意识。个别的，对全体学生没有价值的和与目标无关的就不去选择，不是越多越好，一定要有“典型”意义。不是凡错误都是资源，要分析哪些是典型资源？这个问题可以作为一个课题来研究，资源有哪些？怎样作出回应？哪些是经常性出现的资源？（2）大环节如何凸显？ 有了结构意识，才有环节意识；有了环节的下放和回收意识，才有互动资源；有了互动资源，再加上隐形目标的意识，才会有回应的有效；回应有效才有过程的生成。
学习吴亚萍报告体会 ——重心下移，关注全体
有幸聆听了 吴亚萍教授“结构化教学”的讲座，让我受益匪浅。吴教授指出的不能区分昨天与今天，课堂一定低效。重心下移，关注全体等观点让我看到了自己教学中的问题，尤其是吴教授结合两节研讨课进行的点评，更让我反思了自己的教学。在她的精彩讲述，出现频率最多的词语就是“重心下移”。“重心下移”就是课堂上真正关注学生，以学生的思考、探究、创新为主，这样才能成就课堂的精彩。
反思自己的课堂教学，虽然我也一直努力要把课堂还给学生。可是，下移什么，怎么下移，我一直找不到良方。教学中也一直有很多问题困扰着我：我重心下移了，可是学生不买账，给我来个冷场。听了吴教授对两节课的重建，我明白了教学中存在这些问题说明我们“怎么下移”做得不够，问题的设计不合理，不会看到学生的起点。“一个会了=全都会了”这样的课堂教学有效吗，更不用说高效了。重心下移，要下移的不仅仅是课堂的设计，更是教师的意识。
把重心放下去就要相信学生有发展的潜能，放下去就要生成教学的基础性资源，放下去就要改变个别学生“替代思维”，放下去就要改变学生思维表浅和定势。还要注意教学过程中的互动和拓展。
吴教授的讲座再次让我明白，孩子们的潜能是无限的，孩子们的创造力是无穷的。在以后的教学实践中，我会努力做到“重心下移”，关注全体，为孩子们创设一个思维舞动的平台，并适时引导、提升，相信我的课堂会焕发出勃勃生机，会成就无数的课堂精彩！
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