向量的加减乘除运算

第一篇：向量的加减乘除运算

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被 向量的减法减”

a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向； 向量的数乘

当λ＜0时,λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）；

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c(a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律 a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

第二篇：有理数加减乘除运算公式

有理数加减乘除运算公式

有理数的加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加和为0． ③一个数同0相加，仍得这个数．

有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上它的相反数.有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与0相乘，都得0．

有理数除法法则：

①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0数，都得0．

②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．

1b0用数学式子表示为：a bab 加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变． 字母表示：

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 字母表示：(a

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 字母表示： ab

分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．

字母表示：(a＋b)c＝ac＋bc abba(a、b表示任意有理数)b)ca(bc)(a、b、c表示任意有理数)ba(a、b表示任意有理数)

(a、b、c表示任意有理数)

有理数的运算顺序（1）先乘除，再加减．

（2）同级运算，按从左到右的顺序进行．

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

第三篇：《加减乘除混合运算》教学设计

《加减乘除混合运算》教学设计

年级：四年级 学科：数学 主备人：张波 审核：张丽丽 周海蓉 时间：2015年3月9日

【学习内容】加减乘除混合运算 【基于标准】

1.总体和学段目标中的描述：

（1）经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程。

（2）能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。

2、内容目标中的描述：

掌握四则混合运算的运算顺序，会进行简单的整数四则混合运算；探索和理解加法和乘法的运算定律，会应用它们进行一些简便运算，进一步提高计算能力。

依据二：《教师教学用书》中的单元目标的具体描述

1、学生学会含有两级运算的运算顺序，正确计算三步试题。

2、学生经历探索和交流解决问题的过程中，学会用两三步计算的方法解决一些实际问题。

【基于教材】

本节课的教学内容是两个商(积)之和(差)的混合运算，例3和例4是通过解决实际问题，来总结含有小括号的混合运算的运算顺序。它以冰雕区的活动场景为题材，完全用文字提供了一个实际问题，含有两条信息：上午有游人180位，下午有游人270位，每30位派一名保洁员。所求的问题是：下午要比上午多派几名保洁员？教材呈现了两种不同的解题方法：第一种方法是先求上午派了几名保洁员，再求下午要派几名保洁员，最后求下午比上午多派几名保洁员；第二种方法是先求下午游人比上午多多少名，再求下午比上午多派几名保洁员。先分步解答，再列综合算式，最后得出含有小括号的算式的运算顺序：要先算括号里面的。

【基于学情】

学生可以根据自己的实际情况解决例3和例4的问题，在理解题意的基础上把分步算式列成综合算式，通过一步一步的分析题意，来明白小括号的作用。教学时要使学生明确游人和保洁员之间的关系，游人越多，需要的保洁员越多。理解了这一点，为学生分析数量关系，寻找解题思路做好铺垫。同时也要对比两种不同的解法，体会到解决问题的思路不同，解决方法也不同，计算的步数也不一样。

【学习目标】

1、学生学会含有两级运算（没有小括号）的运算顺序，并能正确计算。

2、学会发现问题、分析问题及解决问题的方法。【学习重难点】

教学重点：两级运算由高到低.教学难点：理解两边高级，中间低级的混合运算的灵活方法。【教具学具准备】 多媒体课件 【教学思路】

根据概念教学的特点，为了更好的突出本节的重点，突破难点，我根据学生的认识规律及心理发展的特点，我在教学中采用的教法是：

1、情景教学法，结合学生生活实际，提取一些具体感性的材料，激发学生的学习兴趣，充分调动学生多种感知觉动脑、动手、动口，去感知和体验知识。

2、运用新旧知识迁移法，启发引导学生层层深入，促使学生在积极的思维中获取新识。

3、开放式教学法，营造一个民主、宽松的学习氛围，鼓励学生自主探索，研究问题，积极发言和敢于质疑。

【评价设计】

交流式评价：通过师生、生生对话交流，在交流中对学生进行评价。表现性评价：通过操作活动、学生回答问题情况，适当对学生进行点拨。选择性反应评价：通过评价样题检测学生对知识点的掌握情 【评价方案】

1、通过观察、提问、分析、计算，检测目标1、2、的达成。

2、通过课堂练习，达成目标1、2。【学习流程】

一、主题图引入

观察主题图，找出条件，提出问题。

引导学生观察主题图。从图中你们都看到了什么？能提出什么数学问题？

二、新授

就学生提出的问题，出示例3 星期天，爸爸妈妈带着玲玲去“冰雪天地”游玩，购买门票需要花多少钱？

学生在练习本上解答此问题。同桌两人说说自己是怎样解答的。汇报：教师根据学生的汇报进行板书。（1）24+24+24÷2

=24+24+12

=48+12

=60（元）

24÷2是一张儿童票的价钱，是半价，所以用24÷2，前两个24是爸爸和妈妈的两张成人票的总价。两张成人票加上一张儿童票就是他们购买门票需要多少钱。

（2）24×2+24÷2

=48+12

=60（元）

24×2是爸爸和妈妈两张成人票的总价，玲玲的儿童票用24÷2，再把三张门票的价钱加在一起就是总门票的价钱。

我们用不同的方法解决了同一个问题，这两个综合算式有什么共同特点？ 这两个综合算式都是没有括号的，而且算式中有加减法也有乘除法。这样的综合算式的运算顺序是什么？ 学生总结运算顺序。

买3张成人票，付100元，应找回多少钱？ 等等。

出示例4 上午冰雕区有游人180位，下午有270位。如果每30位游人需要一名保洁员，下午要比上午多派几名保洁员？

小组讨论，独立完成。

小组内互相说说你是怎样解答的？ 汇报。

（1）270÷30-180÷30

=9-6

=3（名）

270÷30算出上午需要派几名保洁员；180÷30算出下午需要派几名保洁员，然后再用减法计算出下午比上午需要多派几名保洁员。

（2）（270-180）÷30

=90÷30

=3（名）

270-180算出下午比上午多出游人多少人，再除以30就算出了下午要比上午多派几名保洁员。

引导学生观察两个算是的不同点，以及运算顺序的不同。学生进行小结。

教师根据学生的小结进行板书。

三、巩固练习P7/做一做1、2 P11/做一做（完成书上的后，可以变化条件，如“买2副手套”等等。）教师在练习的过程中应抓住学生的关键语言进行知识的巩固。

四、作业 P8—9/5—9

第四篇：空间向量的运算反思

教学反思

本节课我讲了选修2-1第二章《空间向量的运算》这一节，这是本章第二节的内容，主要学习的是空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角等。

本节课在教学设计上，注重与学生已有知识的联系，因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习近平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。另外，多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但是我觉得自己在这方面做的不太理想，意图是好的，可是没有完全调动起学生的兴趣和学习积极性，所在老师在课堂上又变成了主角，背离了新课程理念，这是我以后应该注意的问题。在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决例题。

不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又渐渐变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，可是前边耽误了时间，导致重点地方没有足够的时间解决，没达到最初的意图。还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。

以上是我对《空间向量的运算》的教学反思，还有很多不足之处，恳请各位老师批评、指正。

2013年11月20日

第五篇：六年级小数加减乘除混合运算教案

教学目标

(一)认识到分数，小数加减混合运算，应针对题目的具体情况，选择合理、正确的方法进行计算。

(二)培养学生具体问题具体分析的习惯。教学重点与难点

选择合理、正确的计算方法。教学用具

教具：投影片、卡片。学具：反馈牌。教学过程 设计(一)复习准备

1．把下面的分数化成小数。(口算卡片)2．把下面的小数化成分数。(口算卡片)0.5 0.4 0.125 0.375 0.75 0.03 0.04 0.16

3．下列分数中哪些能化为有限小数？哪些不能化成有限小数？(学生用反馈牌、能用的举√，不能用的举×表示。)4．如何判断一个分数能不能化成有限小数？ 教师：我们已经学过小数的加减运算，也学过了分数的加减运算。如果分数、小数同时出现在同一道题中，该如何计算呢？这节课就研究这个内容。教师板书课题：分数、小数加、减混合运算。

(二)学习新课

1．题目中的分数能化成有限小数 教师：想一想，你准备怎样计算这道题？

学生口答后，请同学按自己的想法计算出来。(请几位同学写在投影片上。)(2)选出几位同学的投影片作评价，选择时，选出不同方法计算的，计算有错误的。

先评价有错误的计算，找出错误原因，再投影出正确的计算： 教师：请做这题的两位同学分别讲一讲自己的算法： 教师：比较这两种算法，哪一种更简便？为什么？ 学生口答后，教师在例4下面板书： 解法1：小数化分数。解法2：分数化小数，更简便。

(3)笔算下面各题：(请几位同学写投影片。)订正后请学生观察：观察上面各题中的分数，有什么共同特点？学生口答后教师在例4下方板书：分数都能化成有限小数。教师：清说一说你做这组题有什么体会？学生口答后教师概括：，如果分数能化成有限小数，选择化为小数计算比较简便。

2．题目中的分数不能化为有限小数。教师：观察这道题里的分数，与例4中的分数有什么不同？

教师：这道题应该选用什么方法计算呢？请同学们试一试。(请几位同学写投影片。)(2)选出几份学生写的投影片作评价，计算有错误的要找出错误原因。教师：为什么这道题不选用分数化小数来计算？(教师板书：小数化分数。)学生口答后教师板书出：有的分数不能化成有限小数。

教师：计算题一般都要求计算出精确的结果，所以不能随意取近似值，但是如果题目允许取近似值，这种题也可以采用分数化小数来计算。例如这道题：

教师：请说一说，脱式过程中什么时候用“≈”，什么时候用“=”？

学生口答后教师再说明：计算中，哪一步取了近似值，哪一步就用“≈”，没有取近似值的都应用“=”。

(3)先看一看各题中的分数有什么特点，再计算。(写本上，集体订正。)教师：说一说做这一组题的体会。

学生口答后教师把板书补充完整：，题目中有的分数不能化成有限小数时，一般应把小数化成分数来计算。

计算练习：(请几位同学写投影片。)(三)巩固反馈

1．把下列算式分组，你认为把分数化为小数计算简便的为A组；把小数化为分数计算的在B组，在题后的括号里填上A或B。(投影)2．请选用适当的方法，写出运算的第一步。(请几位同学写在投影片上。)3．计算下面各题。(每题都请几位同学写在投影板上。)4．取学生投影片上有错误的进行讨论。(四)课堂总结与课后作业

1．怎样选择合适的方法来进行计算。

教师板书：具体题目具体分析，选择合适的方法进行计算。2．作业 ：课本151页练习三十四，2，3，4，5。课堂教学设计说明

小数、分数加减混合运算，是分数、小数互化；小数、分数加减计算等知识的综合运用。对不同的题目来说，或者选用分数计算，或者选用小数计算更好，所以本节教学选用了按题组让学生进行计算、讨论，目的是使学生对一般的情况取得一些判断，选择算法的经验，提高对计算题的审题能力，同时也使学生认识到最重要的是具体题目要具体分析。在整个学习过程中，都安排了同学对错题的分析讨论，以帮助学生提高计算的正确率和养成良好的习惯。