概率讲稿-总复习4

第一篇：概率讲稿-总复习4

总复习四

1． 设X~U(0,)，求E(sinX)。

2解：E(sinX)=202sinxdx=2

2． 伽玛函数()=0x1exdx（0），证明其具有下列性质：

（1）(1)()；（2）(n)(n1)!，n是自然数；（3）(12)3． 称X，概率密度为 ~(,)（即参数为,的伽玛分布）



1xf(x)xe（x0），求EX,DX

()x(1)tet1解：EX=（令）===xedxxtdt00()()()EX=2

01t1x(2)1xf(x)dx=== xedxtedt()0()2()202=(1)2，因此，DX=EX2EX=

2(1)222=2 4． 设X,Y独立同分布N(0,1)，求E(X2Y2)

1x2y2exp()，则 解：f(x,y)=22E(X2Y2)=2x2y2f(x,y)dxdy=d00R21e2r22r2dr=02tedt

12t=2(32)=21()=222

5．证明（1）XY（2）XY1的充要条件是：存在常数a,b，使P{YabX}1 1；证：显然对于一切实数t，恒有

E[(YEY)t(XEX)]20，整理得

t2DX2tCov(X,Y)DY0，也即二次多项式f(t)=t2DX2tCov(X,Y)DY 恒非负，故有

0，即4Cov2(X,Y)4DXDY，因此可得XY1

另外，XY1的充要条件是0，即存在tt0，使得f(t0)=0，可是

EX)]20，EX)]2D(Yt0X)即E[(YEY)t0(X可是E[(YEY)t0(X从而D(Yt0X)0的充要条件是P{Yt0Xa}1，证完。

6．在无放回抽样问题中（共有N个产品，其中有M个次品），用Y表示取出的n个产品中次品的数量，求EY。

解：原操作等价于每次取一个，无放回的取n次，令

1,第k次抽取，取到次品；Xk，k1，2，，n

0,第k次抽取，取到正品则YXk，因此

k1nnEY=EXk=nk1MM

（其中EX1EX2EXn）NN7．（匹配成对数的期望）将n封不同的信与n个不同的信封随机匹配，记N为匹配成对数，求EN

解：记Ak=第k封信与第k个信封匹配，k令Xk1,2,,n

1,A发生k，k1,2,,n 0,否则1，k1,2,,n Xk，而EXkP（Ak）nk1n则有N故有EN1

8．设随机变量X取非负整值，分布列为

ak，a0，k0,1,2,，求EX,DX P{Xk}=k1(1a)1aak解：EXk=k k11ak11ak0(1a)xS(x)k1令S(x)kx，则 dxkxdx=xk=

1xxk1k1k1kk 2 因此S(x)x，从而 2(1x)EX =1aS()=a 1a1a类似方法可求得

DXa(1a)

9．设X~N(0,2)，求E(Xn)

2k1解：E(X)=x2k11x2exp(2)dx=0（利用对称性）

22E(X)=x2k2k2k1x21x2exp(2)dx=2xexp(2)dx

02222=2k2kk0t12tedt=

2k2k(k)=

122k2k2k1(k1)(k)= (2k1)！2210．设X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，证明E(11．设X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，DXknnX1X2Xkk)=

X1X2Xnnk2，k1,2,,n。试找系数，使akXk的方差最小。a1,a2,,an（ak0,ak1）k1k1提示：这是有约束条件的极值问题，可用拉格朗日乘数法解决。12．若X的密度函数是偶函数，且EX证明：Cov(X,由于EX2，证明：X与X不相关，但它们不相互独立。

X)=E(XX)EXEX，xf(x)dx0（奇函数在对称区间上积分为零）

E(XX)xxf(x)dx0（随机变量函数的期望）

因此Cov(X,但是YX)0，从而X与X不相关

X与X有着严格的函数关系，因此不独立。

13．若X与Y都是只取两个值的随机变量，证明：若X，Y不相关，则X，Y相互独立。

x222,x0，求：14．设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度p(x)Axe（1）A；（2）0,x0 遇到大于其振幅均值的概率；（3）X的方差。

xmxm.e(x0)，证明：P{0X2(m1)}15．设X的密度为p(x)m1m!证明：P{0X2(m1)}=02(m1)xmxedx m!16．设随机变量X取值于区间[a,b]上，(ab),证明下列不等式成立：aEXb,DX(ba2)。2证明：设X的密度函数为则EX=

f(x)，axb

f(x)dx（第二积分中值公式）=x0（归一性）xf(x)dx=xabb0a其中ax0 b，这就证明了结论aEXb

17．设X，Y几乎必然相等，即P(X证明：P({XY)1,证明它们的分布函数相等。

Y})0

FX(x)P(Xx)=P({XY,Xx}{XY,Xx})

=P({XY,Xx})+P({{XY,Xx})=P{Yx}=FY(x)

18．设X取非负整值，且EX存在，证明：EXP(Xk)

k1证明：（绝对收敛级数之和与各项运算次序无关）

p1 p2p2

p3p3p3

p4p4p4p4，期望定义是按行相加，应当等于按列相加。

19．设(X,Y)服从二维正态分布，并且满足EXEY0，DXDY1,E(XY)，证明：E(max(X,Y))1

20．一辆机场交通车送25名乘客到7个站，假设每一个乘客都和其他人一样等可能地在任 一站下车，并且他们行动独立，交通车只在有人下车时才停站。问：它停站的期望次数是多少？ 答案：7[1(625)] 721．给定随机选出的500人，问：（1）他们中生日是元旦的人数超过1个的概率是多少？（2）他们中生日是元旦的期望人数。

***1)()C500()()***0,)，EX

（2）X~B(500 365365答案：（1）0p1C500(22．某自动化作业的机器生产出不合格品的概率是2%，一旦出现不合格品随即进行校正调节，求两次调节间生产合格品的期望数。答案：EX49

23．某袋中装有N张标号1至N的票券，按放回方式逐张抽取，问：到第一张抽出的票券再次被抽出时为止，抽取的期望数是多少？ 解：（1）设X到第一张抽出的票券再次被抽出时为止，抽取的次数，则

N1P{Xk}NEXN1

24设k21

（k2,3,）NX1,,Xm相互独立且具有相同的分布列P(X1k)pk,k0,1,2,.证明：

E(min(X1,,Xm))rkm,其中rkpn

k1nk证明：令Zmin{X1,X2,,Xm}，则P{Zk}P{X1k,,Xmk}=Pm{X1k}

nkP{X1k}=pkpk1=pn=rk

因此P{Zk}rkm

P{Zk}=P{Zk}P{Zk1}=rkmrkm1

从而EZ kp{Zk}rkm，证完。

k1k1 5

第二篇：概率复习

第一章、概率论的基本概念

考点：

事件的关系及运算，概率的公理化定义及其性质，古典概型，条件概率的定义及贝叶斯公式，n重伯努利

试验及二项概率公式。

参考：例1.4、例1.6、例1.26、习题一28

第二章、随机变量

考点：

随机变量的分布函数的概念及性质，概率分布（密度）及两者的性质，分布函数与密度函数的关系，三大离散分布的定义及记号以及相关计算，三大连续分布的定义及记号以及相关计算。

参考：例3.1、例3.15、习题三1

3第三章，随机向量

考点：

二维离散型随机变量的联合概率分布，边缘分布，条件分布，独立的充要条件，二维离散型随机变量的函

数。

参考：例3.1、例3.15、习题三1

3第四章，随机变量的数字特征

考点：

均值、方差的定义及其性质，六大常见分布的均值及方差、计算过程。

参考：习题四1、5。

第五章，大数定律与中心极限定理

考点：

独立同分布中心极限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

参考：例5.4、例5.6、第六章 数理统计的基本概念

考点：

简单随机样本的定义，常用统计量，三大统计分布定义及其性质和相关计算（上分位点），正态总体抽样分布定理。

本部分主要考查对概念及性质的理解。特别注意：

若E(X),D(X)2,则E(Xi),D(Xi)

2第七章 参数估计

考点：

矩估计法，极大似然估计法，估计量的评价标准（无偏性及有效性），正态总体均值的区间估计。参考：例7.6、例7.8、例7.9、例7.12

第三篇：初三数学总复习-统计和概率 教案

《总复习——统计与概率》教案

一、教学目标

知识与技能：在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表和画树状图）计算简单事件发生的概率．

过程与方法：经历模仿、参考例题到自己动手完成变式训练，体会概率问题的书写规范.情感态度与价值观：通过简单概率事件的计算提升学生对数学学习的兴趣.二、教学重点与难点

重点：概率综合问题的书写格式、概率的计算.难点：概率大题的书写规范.三、教学过程 1.知识回顾 公式P(A)m的意义 nm.n一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)

2.例题讲解

（2016一检22）一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球.（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率.解：（1）根据题意，可以列出如下表格：

或根据题意，可以画如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等.（2）由（1）得：其中两次摸出的球上的数字积为奇数的有4种情况，∴P(两次摸出的球上的数字积为奇数)=3.错题分析 9

4.正确示范

5.变式训练

（2015一检20）小红和小白想利用所学的概率知识设计一个摸球游戏，在一个不透明的袋子中装入完全相同的4个小球，把它们分别标号为2，3，4，5.两人先后从袋中随机摸出一个小球，若摸出的两个小球上的数字和是奇数则小红获胜，否则小白获胜.下面的树状图列出了所有可能的结果：

请判断这个游戏是否公平？并用概率知识说明理由.解：由树状图可知，所有可能的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同 其中两个小球上的数字和是奇数的共有8种，为偶数的共有4种 ∴ P(和为奇数)=∵ 8241，P(和为偶数)= 12312321 33∴ 这个游戏不公平

（2014一检18）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5.小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏：当x与y的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜.（1）若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；

（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？请说明理由.解：（1）列表如下：

或列树状图如下：

由树状图可知，所有可能的结果共有12种，并且每种情况出现的可能性相等，其中x与y的积为偶数的有6种.∴ 小明获胜的概率P(x与y的积为偶数)=（2）列表如下： 2

或列树状图如下：

由树状图可知，所有可能的结果共有16种，并且每种情况出现的可能性相等，其中x与y的积为偶数的有7种.∴小明获胜的概率P(x与y的积为偶数)=∴游戏规则不公平

6.总结归纳

71 162

7.布置作业

优化设计P72—74

教学反思：

第四篇：概率期末复习

第二章

随机变量

1、离散型：两点分布、二项分布、泊松分布

2、连续型：均匀分布、指数分布、正态分布

分布函数的定义F(x)P(Xx)

随机变量函数Yg(x)的分布

两种方法：

A、F(y)P(Yy)P(g(x)y)P(xD(y))

这里D(y)是指符合g(x)y的x的集合。

B、利用定理2.4.1前提：g(x)单调

第三章

二维随机向量的本质：两个随机变量 <=> 二元函数

1、离散型：联合概率分布

2、连续型：联合密度函数、均匀分布、正态分布

边缘分布：X的边缘分布 <=> 对Y求和或者求积分

Y的边缘分布 <=> 对X求和或者求积分

条件分布：在某变量已知的情况下，求另一个变量的分布

1、离散型：联合概率/边缘概率

2、连续型：定理3.5.1

独立性的判断

唯一标准：离散型 <=> 联合概率分布等于边缘概率分布的乘积

连续型 <=> 联合密度函数等于边缘密度函数的乘积

随机变量函数的分布：两个随机变量的和（离散型、连续型）

第四章

期望（离散型、连续型）性质1、2、3、4

方差（离散型、连续型）：简化公式性质1、2、3

协方差（离散型、连续型）

相关系数与协方差的关系、线性无关与独立的区别

矩的定义

第五章

切比雪夫不等式、大数定律及推论、中心极限定律1、2

重点：这几个定理的应用

第六章样本、统计量、三个重要的分布（

2、t、F）、定理6.4.1

第七章

矩估计、极大似然估计

估计的优良准则：无偏性、最小方差（均方误差）准则

区间估计：

1、2已知，估计：构造符合标准正态分布的只含有这个未知参数和样本的函数

2、2未知，估计：构造符合t分布的只含有这个未知参数和样本的函数

2、2未知，估计2：构造符合2分布的只含有2这个未知参数和样本的函数

第五篇：概率复习重点

概率复习重点

一、全概率公式和贝叶斯公式二、一维连续型随机变量给定概率密度求其中的未知参数,求分布函数和落在某区间内的概率三、二维连续型随机变量给定概率密度求其中的未知参数,求边缘概率密度,求条件概率密度,判断独立性以及落在某区域内的概率四、一维随机变量的函数的分布(单调时用公式计算)

五、二维离散型随机变量的相关系数

六、点估计中的最大似然估计法

七、单个正态总体均值的双边假设检验(t检验和z检验)

八、抽样分布的构造

九、等可能概型的计算,事件概率的性质特点.独立的定义和性质,独立不相关之间的关系,期望和方差的定义和性质,第一类第二类错误,三个重要离散型随机变量和三个重要连续型随机变量的相关内容包括期望方差,单个正态总体均值的区间估计,样本均值样本方差的性质特点,统计学中三个重要抽样分布的构造,切比雪夫不等式作估计,估计量的评选标准(无偏性,有效性),