线性代数试卷(网上1)

第一篇：线性代数试卷(网上1)

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1a12若矩阵A01a2的秩r(A)2,则a的值为_____________10121.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT••(D)-1或者1(B)-AT*设A为正交矩阵，且|A|1,则A_____________ 2.(C)A••••(D)-A

TT3.设,是n维列向量,0,n阶方阵AE,n3，则在A的 n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

r(A)r(B),则______________ 4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既(A)r(A－B)0(B)r(AB)2r(A)(C)r(A,B)2r(A)(D)r(A,B)r(A)r(B)

___ 5.设矩阵Amn的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb__________(A)一定无解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

**|A|2|2A|=_____________ nA1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则

2.D中第二行元素的代数余子式的和

1111j1A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)x4x2x2ax1x12x2x3正定,则实常数 1,231233.已知实二次型

a的取值范围为________________

111111111111AB________________BA4.2n阶行列式 ,其中n阶矩阵 a0000b0a00b0AB000ab00



101020，101nn1而n2为正整数，则A2A______ 5.设A=

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mx2x3xnx1x2mx3xnDn••x1x2x3xnm

20060011AXBAABX0，其中,A010,B012001021 X2.求矩阵使

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd22343有三个解向量 3.设非齐次线性方程组11231112142

1＝1，2＝1，3＝2

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt为已知常数)

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x13x23x32x2x3(0)经过正交

222y2y5yXQY123变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵Q

x1x2x33x402xx3x5x112343x12x2ax37x41x1x23x3x4b，问a,b各取何值时，线性

2225.设线性方程组为

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

446.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使1,2,3,4为R的基,并求由基1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵P,其中

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 1,2,3 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 13也是V的标准正交基

11110111123400110001    111111101234a2a001100   

1(21223)2(21223)3(12223)1313

T2.设fXAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX10，TTX2AX20, 证明:存在n维列实向量X00,使X0AX0=0

T

第二篇：线性代数试卷及答案1

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

第三篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第四篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第五篇：线性代数 试卷

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案

2x11．解线性方程组x1x15x22x24x24x3x36x3x4x42x4x5x5x535。10解：略。

2．线性变换T:22的定义是

T(x,y)(3xy,x3y).设B{(1,1),(1,1)},B{(2,4),(3,1)}。（a）证明B,B是2的两组基。

（b）给出T关于基B的矩阵表示A和T关于基B的矩阵表示A。（c）求矩阵Q使AQ1AQ。

（a）证明：先证明B线性无关（略）。因为B所含的向量个数2dim2，所以B是2的一组基。B类似可证。

（b）解：由定义即可（略）。

（c）解：矩阵Q是基B到基B的过渡矩阵，由定义求之即可。

00103．设矩阵A0100n2。解：

0a100a200a3。求行列式AtI，其中I是n阶单位阵，01an0t1AtI00000t000000000ta1a2a31tan101tan0000tnantn1a2ta1tn1antn2a3ta2tn2antn3a4ta3t2antan1tanRn1tRn100Rn2tRn1010R1tR20000

0001tnantn1a2ta14．令V为由全部在闭区间[0,1]上连续的实函数构成的集合，即

V{f:[0,1]|f连续}（a）给出V的向量加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

01（a）解：对f,gV,，定义

fg:[0,1]f(x)g(x)，f:x[0,1]x(f(x))验证上面定义的加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明：对f,g,hV,，有

(f,g)f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx(g,f);0011(f,g)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx(f,g);0011(fg,h)(f(x)g(x))h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dx(f,h)(g,h);000111(f,f)f2(x)dx001所以(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

015．设映射D:[x]5[x]5用D(f)f来定义，其中f是f的导数。（a）证明D是线性变换。

（b）给出D的核，他的一组基和维数。（c）给出D的像，他的一组基和维数。（a）证明：对

fa0a1xa2x2a3x3a4x4,gb0b1xb2x2b3x3b4x4[x]5,，有

D(fg)D((a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2(a3b3)x3(a4b4)x4)(a1b1)2(a2b2)x3(a3b3)x24(a4b4)x3D(f)D(g),D(f)D(a0a1xa2xa3xa4x)a12a2x3a3x24a4x3D(f)所以D是线性变换。

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（b）D的核kerD，f1是他的一组基，他的维数dimkerD1。（c）D的像ImD[x]4，1,x,x2,x3是他的一组基，他的维数dimImD4。

1126．判断实矩阵A121是否可对角化。若A可对角化，求矩阵Q使Q1AQ013是对角矩阵D，并给出矩阵Q1和D。解：略。

27．实二次型f:2的定义是f(x1,x2)2x125x24x1x2。

（a）给出对应于f的实对称矩阵A。

（b）给出A在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。

（c）给出f的正惯性指数和负惯性指数，并判断f是否正定或者负定。解：略。

8．设,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量。如果avbw是T的特征向量，证明a0或者b0。证明：因为avbw是T的特征向量，所以存在T的特征值使得T(avbw)(avbw)。因为v和w分别是属于和的特征向量，所以avbwT(avbw)aT(v)bT(w)avbw，即a()vb()w0。因为,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量，所以v,w线性无关。所以a()0,b()0。

如果a0，则有。因为,互异，所以0，进而b0。所以有a0或者b0。

9．证明或举反例否定下面命题。

V)dim(W，)则任何线性映射（a）若有限维线性空间V,W满足dim(T:VW都不是同构。

答：正确。因为T:VW是同构dim(V)dim(W)。

（b）若方阵A,B有相同的特征多项式，则A和B是相似的。

10答：错误。例如A,BE2，则他们的特征多项式相同，均为

11f()(1)2，但A和B不相似，因为A不可对角化。

（c）若可逆方阵A相合于方阵B，则他们的逆矩阵A1,B1也是相合的。

答：正确。这是因为：若可逆方阵A相合于方阵B，则存在可逆矩阵CT1使得BCTAC，进而B1(CTAC)1C1A1(C)C1A1(C1)T，即A1,B1相合。

（d）实正交矩阵一定可对角化。

cos答：错误。比如Asinsin的特征多项式为cosf()22cos1，所以没有实特征根，当然也不能对角化。