(教案)数列综合应用

第一篇：(教案)数列综合应用

专题三：数列的综合应用

备课人：陈燕东 时间： 备课组长

[考点分析]

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；

（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

【例题精讲】

【题型1】求和，求通项

例1．设数列an的前n项和Sn=2n+1-2，数列bn满足bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn．

1．(n1)log2an变式训练1：已知数列an是公差不为0的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列．（1）求数列an的通项公式；（2）设bn

2，求数列bn的前n项和Sn．

nan2变式训练2．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Snan2an3．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知bn2n,求Tna1b1a2b2anbn的值．

2备选例题1．已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnn.2（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn12an1,(nN*)求数列{bn}的前n项和Sn.anan

1备选例题2．已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．（1）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；（2）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；

（3）若错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【题型2】证明题

例2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数，（I）证明：an2an；

（II）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.变式训练．已知函数fx123xx，数列an的前n项和为Sn，点n,SnnN均在函数22yfx的图象上.（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn

【题型3】创新题型

例

3、设正项等比数列an的首项a11anan1，证明：2nc1c2cn2n.2an1an1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100。2（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。

备选例题： 1.在等差数列{an}中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,ak1,ak2,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【题型4】数列与不等式的综合题

例

4、已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝，其中常数a＞1．(a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a＝22，┅，2k），求数列{bn}的通项公式；（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－

【题型5】数列与函数的综合题

例

5、设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn有nN都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。22k1，数列{bn}满足bn＝

1log2(a1a2an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所

20anan1

第二篇：数列综合应用作业

数列求和及数列的综合应用课时作业

一、选择题

1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44

D．44＋1

2．(2013·昆明模拟)已知数列{a2ann为正奇数，n}满足a1＝1，an＋1＝则其前an

＋1n为正偶数，6项之和是

()

A．16B．20C．33

D．120

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1

n，则an＝()A．2＋ln nB．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n

D．1＋n＋ln n

4．若数列{a满足1

a1

n}＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an＋1an

n}为“调和数列”．已知正项数

列{1

b为“调和数列”，且b1＋b2＋„＋b9＝90，则b4·b6的最大值是()n

A．10B．100C．200

D．400

5．(2013·青岛模拟)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋„＋a100＝()

A．0B．－100C．100D．10 200

二、填空题

6．(2013·泉州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值为________．

7．(2013·吉林模拟)已知正项等比数列{an}中，a1＝3，a3＝243，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1b的前n项和Snbn＋1

n＝________.8．(2013·课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．

三、解答题

9．(2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＋1n＝n＋2a{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有T5nn<64.10．(2013·湛江模拟)设数列{an}满足：a1＝5，an＋1＋4an＝5(n∈N*)，(1)是否存在实数t，使{an＋t}是等比数列？(2)设数列bn＝|an|，求{bn}的前2 013项和S2 013.11．设数列{a3

n}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线y2x－1上．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)在a1

n与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列dn的前n

项和Tn.

第三篇：数列的应用教案

第十四教时

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处

理“共项” 问题。

过程：

一、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设

在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则

Sa(12k1)0[12(nk)]

a[k(n1)kn2n

2]

当n为奇数时，取kn

1S达到最小值

当n为偶数时，取kn2或n

2S达到最大值

2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解：不妨设an3n,bm4m1(m,nN*)，则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p1)(pN*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712p1661112

∴p取84、85、„„、166共83项。

3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人

口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、„„2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、„„2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b9105001.015001.0937546.8

∴2000年底该城市人均住房面积为：

3270

.8

5.98m2546 4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1

kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3=(1)222×0.2 kg

由此可见：an=(12)n1×0.2 kg ,a5=(11

2)51×0.2=(2)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=

1Sa(1q6)0.2(11

616)1q

0.3937kg11

50.40.393750.00625

0.0062520.003125

二、作业：《教学与测试》P94练习3、4、5、6、7

《精编》P1775、6

第四篇：放缩法(不等式、数列综合应用)

“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：an1a1a2...n(nN*).23a2a3an

1ak2k11111111证明： k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k

aa1a2n1111n11n1...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan12...n(nN*).23a2a3an1

2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=4x

14xk，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n11(nN*).2证明：由f(n)= 4n14n=1-111 14n22n

22

11得f（1）+f（2）+…+f（n）>1112221122n 11111n(1n1)nn1(nN*).424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

k

例

3、已知an=n，求证：∑＜3．

k=1ak

n

证明：∑

k=

1n

n

2ak

∑

k=

1n

＜1＋∑

k=

2n

(k－1)k(k＋1)

=1k2n

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

=1＋1＋＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；

n

1例

4、已知数列{an}满足an1a,0a1,求证：(akak1)ak2.232k

1n

证明 0a1

n

11112,an1an,a2a12,a3.当k1时,0ak2a3, 241616

(akak1)ak

2k1

1n11(akak1)(a1an1).16k11632

本题通过对因式ak2放大，而得到一个容易求和的式子

5、逐项放大或缩小

(a

k

1n

k

ak1)，最终得出证明.n(n1)(n1)

2an例

5、设an22334n(n1)求证： 22122n1

2证明：∵ n(n1)nnn(n1)(n)

2n

1∴ nn(n1)

13(2n1)n(n1)(n1)2

an∴ 123nan，∴

222

2n1

本题利用n，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；

例

6、求证：

11117 122232n2

4证明：

1

n2n(n1)n1n



11111111151171()().122232n22223n1n42n4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分

别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例

7、已知an5n

41对任何正整数m，n都成立.1，只要证

5amn1aman.因为 amn5mn4，aman(5m4)(5n4)25mn20(mn)16，故只要证

5(5mn4)125mn20(mn)16 即只要证

20m20n37

因为aman5m5n85m5n8(15m15n29)20m20n37，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由aman放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例

8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi1ni

1,同理，mmmnnnmini

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

nkmk，

nm

AinAim

所以ii,即miAinniAim

nm

(2)由二项式定理有：

22nn

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

AimiAin,Cn= i!i!

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

第五篇：数列综合复习课教案

数列综合复习课教案2007.12.6文卫星

例1 填空题

(1)在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3a4a5=___ ；

(2)设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144(n6),则n=__；

(3)Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2n

an

4n12n

1，则S2n=。

Sn

例2 已知由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式.1

an

2

a1n

4n为偶数

例3设数列an的首项a1a≠

14，且an1,n为奇数

记bna2n1

14，n＝l，2，3，…·

（1）求a2,a3（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求lim(b1b2b3bn).n



例4设向量a=(x,2)，b=(x+n,2x-1)（n为正整数），函数y=ab在0,1上的9

最大值与最小值的和为an，又数列bn满足：b1+2b2++(n-1)bn-1+nbn= 10（1）求an和bn的表达式;

n-1

.（2）若cn=-nanbn，试问数列cn中，是否存在正整数k,使得对于任意的正整数

n，都有cnck成立？证明你的结论.作业 1.填空题



(1)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共

线（该直线不过原点O），则S200＝______；

(2)已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1b15，**，则数列{cn}的前10项和等于______； a1,b1N．设cnabn（nN）

(3)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且an2an1(1)n(nN)，则S100=_____.2.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).（1）证明：数列an1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）若数列bn满足

43.已知点的序列An(xn，0)，nN，其中x1＝0，x2＝a（a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，……，An是线段An2An1，……（1）写出xn与xn1，xn2之间的关系式（n3）；（2）设anxn1－xn，求数列an的通项公式；（3）求limxn。

n

b1

1b21

...4

bn1

(an1)n(nN),证明bn是等差数列。

b

*

4．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n1,0)(nN*)，满足向量AnAn1与向量BnCn共线，且点Bn(n,bn)(nN)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an；

(2)设a1a,b1a,且12a15，求数列{an}中的最小项.5．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是((1)求y=f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；

(2)数列{an}，{bn}，若对任意的实数x都满足f(x)g(x)+anx+bn=xn+1, nN，其中g(x)是定义在实数集R上的一个函数，求数列{an},{bn}的通项公式；

(3)设圆Cn:(x－an)+(y－bn)=rn，若圆Cn与圆Cn+1外切，{rn}是各项都是正数的等比数列.记Sn是前n个圆的面积之和，求lim

答案：

1.(1)100,(2)85,(3)2600.n*

2.（1）公比为2；（2）an21(nN)：（3）bn22bn1bn0.32,

14),且f(3)=2.Snrn

n

(nN).3．（1）xn＝

(xn1＋xn2）；(2)an=(

12)

n1

a；(3)limxn＝

n

a11(

12)



a。

4．（1）an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)；（2）当n=4时，a4取最小值，最小值为18-2a.5.（1）f(1)=0,f(2)=0；（2）an=2n+1－1,bn=2－2n+1；（3）

43.