解析法证明平面几何经典问题--举例

第一篇：解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2(y-a)2r2,设直线AB的方程为：ymx,直线AD的方程为：ynx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x(y-a)r,消去y得：（1m2)x2-2amxa2-r2{ymx2ama2-r

2由韦达定理知：x1x22;x1x22,m1m12ana2-r2

同理得：x3x42;x3x42, n1n1直线CD方程为：y-y2y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q点横坐标：xQ

同理得P点横坐标：xPx1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明APAQ，只需证明：xQ-xP3223-1441, y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（y4-y1）（-x1y4-x4y1）（y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1x2)y1y2(x3x4)x1y2y4x2y1y3x3y2y4x4y1y3

注意到：y1mx1,y2mx2;y3nx3,y4nx4，代入整理得：

左边m2x1x2(x3x4)n2x3x4(x1x2),右边mn[x1x2(x3x4)x3x4(x1x2)] 把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(mn)2a-r左边m22n22 22m1n1n1m1(m1)(n1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(mn)右边mn(2)m1n21n21m21(m21)(n21)

可见：左边=右边，故xQ-xP，即APAQ.证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】 标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC= r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(arcosθ,rsinθ)、D(-arcos,rsin), 从而得N(cosθcossinθsin,)22

易得：kBCtan,kADtan【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN

sinθsintan;cosθcos2

第二篇：2 用解析法求解初等平面几何问题

用解析法求解初等平面几何问题

在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析.平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对(a,b)建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系,平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程.例8 证明：三角形的三条高交于一点[3].已知AD, EF, CF分别是ABC的三边上的高, 求证：AD, BE, CF相交于一点.证明 如图4所示, 以BC边为x轴, BC边

上的高AD为y轴建立直角坐标系.不防设A,B, C三点的坐标分别为A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

据斜率公式得, KABba, KCA, KBC0,ac

又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为

AD:x0, BE:cxaybc0, CF:bxaybc0.这三个方程显然有公共解, x0, y

交与一点.bc, 从而证明了三角形的三条高相a

例9 一个面积为32cm2的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为16cm试确定另一个对角线的所有可能的长度[3].解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 A(a,0), B(b,b), C(c,0), D(0,d).根据已知条件有

11SABCDca）d(ca)b32, 2

2|AB|

|CD||AC|

(ac)16.即有

（(db)64(1)ca）2222(2)(ab)bcd16(ac)

2(3)根据图5可知

bd由(1),(2),(3)得(ac)[16(ac)]64,即[(ca)8]0, 所以ca8.且上述不等式只能取等号, 于是得

bd8, c0, ab0.由此可知, a8,b8.所以, 另一条对角线BD的长度为2Y X

图5 |BD

|

cm).从上述两题的解题过程不难看出, 其解

法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系,以次来实现几

何问题代数化.解析法证明初等几何问题一般步骤[4]：

(1)恰当地选择坐标系, 使题中某些点的坐标、直线和圆的方程呈较简单的形式.(2)根据题目要求, 求出有关点的坐标、直线或圆的方程.(3)从已知条件出发, 以求证的结论为目标, 通过运算、推理出要证的结果.在运用解析法证明初等几何问题时, 必须熟练掌握并善于使用在直角坐标下的有关公式, 定理和方程.如两点间的距离公式、定比分点公式, 直线的斜率公式, 两直线夹角公式, 两直线平行、垂直的充要条件, 直线和圆的各种类型的方程, 圆的切线方程等.以下分类型加以阐述：

2.1 等线段与等角的问题

证明线段的相等或不等, 线段的和差倍分及定值问题, 常用的方法是选定坐标后,再利用两点距离公式, 点到直线的距离等知识来进行运算.例10 如图6, 以RtABC的一条直角边

作直径作圆O, 此圆与斜边AC交于D,过D引圆O的切线交BC于E.求证：BE=CE[4].分析 以B为坐标原点, BA所在直线为

图6 X轴, 建立直角坐标系, 设A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 则圆O和直线AC的方程可

求, 由AC交圆O可求得出D点的坐标, 再由BE=ED, 可求得E为BC的中点.利用直线斜率公式, 两直线平行、垂直条件及两直线夹角公式, 可证明一些与角的度量有关的题目.处理的方法一般较简单, 只需在选定坐标系以后, 求出有关点的坐标或方程, 进行一些斜率和角度的计算即可

.例11 如图7, 在ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求证∠ABC=2∠ACB[4].简证 以BC, DA所在直线为坐标, 建立直角坐标系, 设A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 则AB=a2b2由CD=AB+BD得出C点坐标(ba2b2,0)

故tan∠ABC=kABa b2a

aba2b2tan2∠ACB==, ab1()ba2b

2又∠ABC及∠ACB均为锐角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三点共线与三线共点和共点圆的问题

证三点共线, 常用的方法有：(ⅰ)先建立过两点的直线方程, 再验证第三点也适合这个方程;(ⅱ)若能证得kABkBC, 则A, B, C三点共线;(ⅲ)点Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共线的充要条件为

x

1x2

x3y1y20.y3证明三线共点, 常用的方法有：ⅰ)利用定比分点公式, 分别求出三条线上某分点坐标, 若求得相同, 因直角坐标平面上的点和坐标一一对应, 故三线共点;ⅱ)三条互不平行直线li:AixBiyCi0(i1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3则l1, l2, l3相交于一点.解析法证诸点共圆, 可先求出有关各点坐标, 再利用两点间距离公式证这点

到某一定点的距离相等;也可先建立过三点的圆的方程, 再证其余点适合圆的方程.例12 如图8, 正方形ABCD的边长等于a, 在边BC上取线段BE=a3在边DC的延长线上取CF等于a2, 试证：直线AE和BF的交点M与A、B、C、D共圆.分析 以AD, AB为坐标轴, 引进直角坐标系,因A、B、C、D各点坐标为已知, 故可求出E, F两X

点的坐标然后求出直线AE, BF的方程, 它们的交点M坐标由此可求出, 最后把点M的坐标代入正方形ABCD的外接圆方程, 即可得证.从以上的例子可看出, 解析法证明的优点在于解决几何问题时有一个比较固定的思考步骤, 思路较明显.由一系列的运算与推理即可得到证明的结果.所以, 有些类型的初等几何问题, 用解析法证明较为简便.

第三篇：解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座

【高中数学竞赛讲座2】

解析法证明平面几何

解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范．

解析法的主要技巧：

1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式；

2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍．

例

2、给定任一锐角三角形ABC及高AH，在AH上任取一点D,连结BD并延长交AC 与E,又连CD且延长交AB于F.证明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1，u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取点D1,使11（，u，m，n都是实数）．延长A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在ABC的边AB上取点B1,AC取点C1,使

例

4、如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQ∥NP．

例

5、[29届IMO]在RtABC中，AD是斜边上的高，M、N分别是ABD与ACD与的内心，连接MN并延长分别交AB与AC于K及L．求证明、：SABC2SAKL．

课后拓展训练与指导

钻研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303练习题

补充几道题目，请尝试用解析法研究

1、（2005全国联赛二试）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

C

D

GH

K

B AF2、（全国高中联赛二试）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求P 证直线PA与BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20届IMO）在ABC中，ABAC，有一圆内切ABC的外接圆，与AB 与AC分别相切于点P和Q．求证：P和Q连线中点是ABC的圆圆心．

第四篇：利用放缩法证明不等式举例

利用放缩法证明不等式举例

高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。

一、放缩后转化为等比数列。

例1.{bn}满足：b11,bn1bn(n2)bn

3（1）用数学归纳法证明：bnn

（2）Tn

解：(1)略

(2)bn13bn(bnn)2(bn3)

又bnn

bn132(bn3)，nN

迭乘得：bn3

2n1211111...，求证：Tn 3b13b23b33bn2*(b13)2n1 11n1,nN* bn32

Tn1111111 ...234n1n12222222

2点评：把握“bn3”这一特征对“bn1bn(n2)bn3”进行变形，然后去

掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

二、放缩后裂项迭加

例2．数列{an}，an(1)

求证：s2nn11，其前n项和为sn

n

2解：s2n1

令bn11111 ...2342n12n1，{bn}的前n项和为Tn 2n(2n1)

1111()2n(2n2)4n1n当n2时，bn

s2nTn

111111111111()()...()

212304344564n1n71 104n2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数f(x)axbc(a0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 x

yx

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)lnx在[1,)上恒成立，求a的取值范围

（3）证明：1

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：当a111n ...ln(n1)23n2(n1)1时,有f(x)lnx(x1)2

111令a,有f(x)(x)lnx(x1).22x

11且当x1时,(x)lnx.2x

k111k1k111令x,有ln[][(1)(1)], kk2kk12kk1

111即ln(k1)lnk(),k1,2,3,,n.2kk1

将上述n个不等式依次相加得

ln(n1)

整理得 11111(), 223n2(n1)

1111nln(n1).23n2(n1)

点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

三、放缩后迭乘

例4

．a11,an11(14annN*).16

（1）求a2,a3

（2）

令bn{bn}的通项公式

（3）已知f(n)6an13an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)

解：（1）（2）略 1 2

21n1n1()() 3423

13231f(n)nn2nn11n 42424

111211(1n)(1n1)1nn2n11n11n11141n11n11n1444

11nf(n)1n14

11111121n1n...1f(1)f(2)...f(n)11111122

n144由（2）得an

点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。

第五篇：平面几何证明习题专题

平面几何证明习题

1.如图5所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC,线段AE的长为l线段CD的长为，线段AD的长为

图

5PA2．PB1，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，2.已知PA是圆O的切线，切点为A，则圆O的半径R．

3.如图4，点A,B,C是圆O上的点，且AB4,ACB450，则圆O的面积等于．

4.如图3, 半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P,ODBC,P为AD的中点, BC6, 则弦AD的长度为

5.如图5, AB为⊙O的直径, AC切⊙O于点A,且AC22cm,过C

CMN交AB的延长线于点D,CM=MN=ND.AD的长等于_______cm.6.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点于C，图5

ADCE于D，若AD＝1，ABC30，则圆O的面积是

7.如图，O是半圆的圆心，直径AB2，PB

与半圆交于点C，AC4，则PB

．

8.如图，点A,B,C是圆O上的点,且AB2,BCCAB120, 则AOB对应的劣弧长为．

9.如图，圆O的割线PAB交圆O于A,B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA6，AB

10.如图，已知P是圆O外一点，PD为圆O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF12,PD则圆O的半径长为，2

2，PO12，则圆O的半径是．

3EFD的度数为

11.如图4，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O 于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E． 若PA23，APB30，则AE=．

12.如图，在ABC中，DE//BC，EF//CD，若

P

B

O

D

C图

4BC3,DE2,DF1，则BD的长为，AB的长为___________．

13.如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB 的延长线交于点D，CD2，ABBC3，则线段BD的长为，线段AC的长为

14．如图，ACB60°，半径为2cm的⊙O切BC于点

C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA

也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm．

15．如图，A、B、c是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=

∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为_______．

16．四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE 的中点，BR分别交AC,CD于点P,Q．则CP:AP= ……()A．1:3B．1:4C．2:3D．3:4

C

R

E

17． 如图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=……………………………（）A．

x5

3B．4

x5

C ．

D．

12x12x25



18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是………………()A．15°

19.已知 ABC中，AB=AC,D是 ABC外接圆劣弧，延长AC上的点（不与点A,C重合）BD至E。

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为

B．30°

C．45°D．60°

ABC外接圆的面积。

20.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于

点E．

（1）∠E=度；

（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．

21.如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD 交CE于点F．（1）求证：CFBF；（2）若AD=4，⊙O的半径为6，求BC的长．

22.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG．

（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

00

•O的直径，AD是弦，DAB=22.5，延长AB到点C，使得ACD=45。24．（10分）如图，AB是○•O的切线；（1）求证：CD是○（2）若AB=22，求BC的长。

A

C

•O，•O的直径，ABC内接于○25．（9分）如图，AB为○BAC=2B，•O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长。AC=6，过点A作○

OB

B

A

C

P

26.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：EDEBEC．



27.如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且

A

B D E

AEAF。

（1）证明：B,D,H,E四点共圆；

（2）证明：CE平分DEF。