2011年高考数学二轮考点专题突破：等差、等比数列的计算与证明

第一篇：2011年高考数学二轮考点专题突破：等差、等比数列的计算与证明

专题三 数 列

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝()A．14B．21C．28D．3

5解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，7a1＋a7由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.2答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最

小值时，n等于()

A．6B．7C．8D．9

解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，a5－a1－3＋11则a5＝－3，d＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正 45－

1项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是

A．T10B．T13C．T17D．T25

解析：a3a6a18＝a1 3q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a9 3，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项 积为定值，可知T17为定值．

答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()

A．80B．26C．30D．16

3nS141－q解析： Sn21－q∴qn＝2.1－q4n

∴S4n＝Sn30.故选C.1－q答案：C

5．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()-1-

15313317B.C.2442

24解析：an>0，a2a4＝a1q＝1①

S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②

11解得a1＝4，q＝或－舍去)，2

3114×3231a11－qS5＝＝，故选B.141－q125

答案：B

二、填空题

6．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通

项公式an＝________.a11－q3－解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝21，∴a1＝1，∴an＝4n1 1－q

答案：4n1 －

7．(2009·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.5×43×2解析：由题意知65a1＋d－53a1＋＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，22

1故a4＝.313

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.111解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1，则1＋(n－1)＝n，所 anan＋1an

1111110以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故S10＝b1＋b2＋„＋b10＝1－.n1111nn＋1nn＋

110答案：11

9．已知数列{an}(n∈N*)满足：an＝nn＝1，2，3，4，5，6

－an－6n≥7，且n∈N* 则a2 007＝________.解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an

从而知当n≥7时有an＋12＝an

于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3

三、解答题

10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．

(1)写出a45的值；

(2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列．

∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列． ∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn＝n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n

a1＝2＋1，(1)解：由已知得∴d＝2，3a1＋3d＝9＋2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．

S(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2.n

2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，2q－pr＝0，∴ 2q－p－r＝0，

∴p＋r2＝pr，(p－r)2＝0，2

∴p＝r.这与p≠r相矛盾

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

a＋1212．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝，4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn 均成立，求实数b的取值范围．

a1＋12解：(1)由a1＝a1＝1.4

an＋12－an－1＋12当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，4

得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an>0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．

(2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，n12－1当且仅当≤对任意n∈N*均成立． bn2n－12n1－12n－1n2－2n－1·2n＋2n＋1令Cn＝Cn＋1－Cn＝＝，nnn＋1n·n＋1＋所以C1>C2，且当n≥2时，Cn

134因此b≤C2＝4，即b≥3

第二篇：二轮：等差、等比数列的计算与证明

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝()A．14B．21C．28D．3

57a1＋a7解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.答案：C

22．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()

A．6B．7C．8D．9

a5－a1－3＋11解析：∵{an}是等差数列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，则a5＝－3，d＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，45－

1所有的非正项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A.答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13C．T17D．T25

＋＋解析：a3a6a18＝a1 3q2517＝(a1q8)3＝a9 3，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项积为定值，可知T17为定值．答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()

A．80B．26C．30D．16

3n1－q4nS3n141－qn解析：q＝2.∴S4n＝Sn30.故选C.答案：C Sn21－q1－q5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()

15313317A.C.D.2442

1142解析：an>0，a2a4＝a21q＝1①S3＝a1＋a1q＋a1q＝7②解得a1＝4，q或－(舍去)，2

31－14×53231a11－qS5＝＝＝，故选B.答案：B 141－q1－2

6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.a11－q3－－解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝＝21，∴a1＝1，∴an＝4n1答案：4n1 1－q

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.5×43×211解析：由题意知65a1＋－53a1＋d＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝3.答案：3 22

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}的前10项和S10＝________.1111111解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得1，则＝1＋(n－1)＝n，所以an＝，bn＝anan＋1－annan＋1annn＋1nn＋1

11010故S10＝b1＋b2＋„＋b10＝1－.答案： 111111

nn＝1，2，3，4，5，6*9．已知数列{an}(n∈N)满足：an＝则a2 007＝________.*－an－6n≥7，且n∈N

解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an，从而知当n≥7时有an＋12＝an，于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3

10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列． ∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列．

∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋2.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S(2)设bn＝n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n

a1＝2＋1，(1)解：由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． 3a1＋3d＝9＋2，Sn(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2.n

2假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr，即(q2)2＝(p＋2)(r2)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.∵p，q，r∈N*，2q－pr＝0，p＋r2∴∴＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.这与p≠r相矛盾 22q－p－r＝0，

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

an＋1212．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝ 4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn均成立，求实数b的取值范围．

a1＋12an＋12－an－1＋12解：(1)由a1＝a1＝1.当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，44

得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因为an>0，所以an－an－1＝2.因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝2n－1(n∈N*)．

n12－12n*(2)因为Sn＝n，Tn＝b(2－1)，所以Sn≤Tn对任意n∈N恒成立，当且仅当n∈N*均成立． bnnn＋1n2n2－12－12－1n－2n－1·2＋2n＋1令CnCn＋1－Cn＝，所以C1>C2，且当n≥2时，Cn

第三篇：【高三数学复习计划】高考二轮数学考点突破复习

【高三数学复习计划】高考二轮数学考点突破复

习

2018年高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理.方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决.

第四篇：高考二轮数学考点突破复习：概率与统计+解析几何

高考二轮数学考点突破复习：概率与统计+解析几何

高考二轮数学考点突破复习：解析几何

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容.高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用;考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识;二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力.1.2011年高考试题预测纵观近年高考解析几何试题的课程特点和高考命题的发展趋势，下列内容仍是今后高考的重点内容.(1)直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式;两条直线平行与垂直的条件及其判断，两条直线所成的角和点到直线的距离公式;线性规划的意义及其简单应用.(2)圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.(3)椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程.(4)圆锥曲线的初步应用，即以直线与圆锥曲线位置关系为载体，考查轨迹问题，圆锥曲线与平面向量、不等式、参数范围、探索型等综合问题.(5)函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在解析几何中的应用.高考二轮数学考点突破复习：概率与统计

1.高考对两个原理的考查主要集中在排列、组合及其综合题方面，题目灵活多样.2.二项式定理重点考查二项展开式中的指定项及二项式的展开式系数问题.3.概率统计内容是中学数学的重要知识，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础，也是高考数学命题的热点内容，纵观全国及各自主命题省市近几年的高考试题，概率与统计知识在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值在17分到20分之间.主要考查以下三点：

(1)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;

(2)理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;

(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些相应的实际问题.1.2011年高考试题预测

(1)高考对两个原理及二项式定理的考查.以基础题为主，考查形式比较稳定.①从内容上看，主要考查分类计数原理和分步计数原理，排列、组合的概念及简单应用.例如2010全国Ⅰ，6;2010山东，8.②从考查形式上看，多为选择题和填空题.例如2010北京，4;2010浙江，17.③从能力要求上看，主要考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想.例如2010江西，14;2010上海，14.④从内容上看，高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算.例如2010全国Ⅰ，5.⑤从考查形式上看，以选择、填空为主，少有综合性的大题.例如2010江西，6;2010全国Ⅱ,14.

第五篇：高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲及数学思想方法

高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲及数学思想方法

高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理.方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几方面：

高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲